Xét dao động điều hoà của một chất điểm có vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là: $v\left( t \right) =  - 0,2\pi \sin \left( {\pi t} \right)$, trong đó, $t$ tính bằng giây, $v\left( t \right)$ tính bằng $m/s$. Tìm phương trình li độ $x\left( t \right)$, biết $v\left( t \right)$ là đạo hàm của $x\left( t \right)$ và $x\left( 0 \right) = 0,2\left( m \right)$.

Tìm:

a) $\int {\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)dx}$;

b) $\int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$.

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Tìm:

a) $\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx$;

b) $\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx$;

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx$;

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx$.

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thỏa mãn điều kiện $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  - 1$.

a) Hàm số $y =  - \cos x$ có là nguyên hàm của hàm số $y = \sin x$

b) Hàm số $y = \sin x$ có là nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$

c) Với $x \notin k\pi (k \in \mathbb{Z})$, hàm số $y = \cot x$ có là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}$ hay không?

d) Với $x \notin \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$, hàm số $y = \tan x$ có là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}}$ hay không?

$\int {(2\sin x - 3\cos x)dx}$ bằng:

A. $2\cos x - 3\sin x + C$

B. $2\cos x + 3\sin x + C$

C. $- 2\cos x + 3\sin x + C$

D. $- 2\cos x - 3\sin x + C$

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 1 - {\tan ^2}(x)$ bằng:

A. $2 - \tan x + C$

B. $2x - \tan x + C$

C. $x - \frac{{{{\tan }^3}x}}{3} + C$

D. $- 2\tan x + C$

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \cos x$ thoả mãn $F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

a) Tìm đạo hàm của các hàm số $y = \sin x$, $y =  - \cos x$, $y = \tan x$, $y =  - \cot x$.

b) Từ đó, tìm $\int {\cos xdx}$, $\int {\sin x} dx$, $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$

Tìm nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thoả mãn $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  = \sin x + 2\cos x + C$

B. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  =  - \sin x + 2\cos x + C$

C. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  = \sin x - 2\cos x + C$

D. $\int {\left( {\cos x - 2\sin x} \right)dx}  =  - \sin x - 2\cos x + C$

Hàm số $y = \sin 2x$ là nguyên hàm của hàm số:

A. $y = \cos 2x$.

B. $y = 2\cos 2x$.

C. $y =  - \cos 2x$.

D. $y = \frac{{ - \cos 2x}}{2}$.

$\int {\sin \left( { - x} \right)dx}$ bằng:

A. $\sin x + C$.

B. $\cos x + C$.

C. $- \sin x + C$.

D. $- \cos x + C$.

$\int {\cos \left( { - x} \right)dx}$ bằng:

A. $\sin x + C$.

B. $\cos x + C$.

C. $- \sin x + C$.

D. $- \cos x + C$.

$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( { - x} \right)}}dx}$ bằng:

A. $\tan x + C$.

B. $\cot x + C$.

C. $- \tan x + C$.

D. $- \cot x + C$.

$\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - x} \right)}}dx}$ bằng:

A. $\tan x + C$.

B. $\cot x + C$.

C. $- \tan x + C$.

D. $- \cot x + C$.

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\sin 3x + \sin x}}{{\sin 2{\rm{x}}}}$.

a) $f\left( x \right) = \frac{{2\sin \frac{{3x + x}}{2}\cos \frac{{3x - x}}{2}}}{{\sin 2{\rm{x}}}}$.

b) $f\left( x \right) = 2\cos x$.

c) $\int {f\left( x \right)dx}  = 2\int {\cos xdx}$.

d) $\int {f\left( x \right)dx}  =  - 2\sin x + C$.

Tìm:

a) $\int {{x^{\frac{1}{3}}}} dx$;

b) $\int {\sqrt {\frac{1}{{{x^7}}}} } dx$;

c) $\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^{\frac{4}{5}}}}}}}} dx$;

d) $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} dx$;

e) $\int {\frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}} dx$;

g) $\int {\left( {3{{\rm{x}}^2} - \frac{4}{x}} \right)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)} dx$.

$\int {\sin xdx}$ bằng

Tìm:

a) $\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - \sin x}}dx}$;

b) $\int {\left( {1 + 3{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx}$;

c) $\int {\frac{{2{{\cos }^3}x + 3}}{{{{\cos }^2}x}}dx}$.

Chọn đáp án đúng.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$ và $f'\left( x \right) = \cos x - \sin x$. Giá trị của $f\left( \pi  \right)$ là

A. ‒1.

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sin x;$

b) $y =  - \cos x;$

c) $y = \tan x;$

d) $y =  - \cot x$.

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = x + \sin x$ là

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^2} + \cos x$ là

Nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx là

Nguyên hàm của hàm số f(x) = 5cosx là

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}$.

Nguyên hàm của hàm số y = sinx + 2cosx là

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số F(x) = cotx là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$?