Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$; $P$, $Q$ lần lượt thuộc các cạnh $CD$, $BC$ ($P$, $Q$ không trùng với  $B$, $C$, $D$). Chứng minh rằng nếu $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc một mặt phẳng thì $PQ$ song song với $BD$.

Cho tứ diện ABCD. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$. Lấy điểm $R$ trên cạnh $BC$ sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của AD với mặt phẳng (PQR). Khi đó tỉ số $\frac{{SA}}{{SD}}$ bằng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28)

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD).

b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD)

b) Chứng minh rằng d song song với BD

(Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao?

Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không? 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Gọi $I$ là trung điểm của $SO$. Mặt phẳng $\left( {ICD} \right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$.

a) Hãy nói cách xác định hai điểm $M$ và $N$. Cho $AB = a$. Tính $MN$ theo $a$.

b) Trong mặt phẳng $\left( {CDMN} \right)$, gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $DM$. Chứng minh $SK\parallel BC\parallel AD$.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Gọi $G$, $K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SAD$; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CD$. Chứng minh rằng $GK\parallel MN$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I$, $J$,$K$, $L$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$, $SBC$, $SCD$, $SAD$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $I$, $J$,$K$, $L$ đồng phẳng và tứ giác $IJKL$ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng $JL\parallel {\rm{CD}}$.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {IJKL} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (CMQ).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (ABD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD).

d) Chứng minh rằng các giao tuyến ở trên đôi một song song với nhau.

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai hình bình hành đó. Chứng minh rằng ba đường thẳng GH, CE, DF đôi một song song.

Cho hình chóp ngũ giác S.ABCDE. Giả sử AB song song với DE.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBE).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE).

c) Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBC) song song với đường thẳng AE. Chứng minh AE//BC