Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ . Gọi $I$ là trung điểm của $SO$ . Mặt phẳng $\left( {ICD} \right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$ .

a) Hãy nói cách xác định hai điểm $M$ và $N$ . Cho $AB = a$ . Tính $MN$ theo $a$ .

b) Trong mặt phẳng $\left( {CDMN} \right)$ , gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $DM$ . Chứng minh $SK\parallel BC\parallel AD$ .

Phương pháp giải

a) – Để xác định hai điểm $M$ và $N$ , ta sử dụng tính chất về giao tuyến của hai mặt phẳng và định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng.

– Để tính độ dài đoạn thẳng $MN$ , ta sử dụng định lí Medelaus và định lí Thales.

b) Áp dụng định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

a) • Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\I \in SO \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\C \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array}$

$\Rightarrow M,I,C$ thẳng hàng.

Do đó $M$ là giao điểm của $IC$ và $SA$ .

• Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}N \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\N \in SB \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\I \in SO \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\D \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array}$

$\Rightarrow N,I,D$ thẳng hàng.

Do đó $N$ là giao điểm của $I{\rm{D}}$ và $SB$ .

• Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\C{\rm{D}} = \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\MN = \left( {SAB} \right) \cap \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\AB\parallel C{\rm{D}}\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $AB\parallel C{\rm{D}}\parallel MN$ .

Áp dụng định lí Medelaus cho tam giác $SOA$ với cát tuyến $CIM$ , ta có:

$\frac{{SM}}{{MA}}.\frac{{AC}}{{OC}}.\frac{{OI}}{{SI}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}}.2.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}$

Xét tam giác $SAB$ có $MN\parallel AB$ . Theo định lí Thales ta có:

$\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow MN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\SK = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $SK\parallel BC\parallel A{\rm{D}}$ .

Xem thêm : SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,CD$ . Lấy điểm $R$ trên cạnh $BC$ sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của AD với mặt phẳng (PQR). Khi đó tỉ số $\frac{{SA}}{{SD}}$ bằng?