c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha < {180^o})\)
Bước 1: Viết \(\cot \alpha \) dưới dạng \(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\), thay vào vế trái.
Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) để suy ra vế phải.
Ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) \(({0^o} < \alpha < {180^o})\).
\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} \)
\(= \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\).
Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) với mọi góc \(\alpha \).
\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) (đpcm).
Danh sách bình luận