Đề bài

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) ${u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}$;

b) ${v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}$;

c) ${w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}$

Phương pháp giải

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

a) $\lim {u_n} = \lim \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}} = \lim \left( {\frac{1}{{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}}} \right) = \frac{1}{3}$

$\begin{array}{l}{v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}} = \frac{{{3^0} + {5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1} + {5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n} + {5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}\\ = \left[ {\left( {\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}} \right)} \right]\end{array}$

Vì $\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{3^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{3^n}}}{{{6^n}}}$ là cấp số nhân có $\left( {n + 1} \right)$ số hạng với ${u_1} = \frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Do đó:

$\frac{{{3^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{3^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{3^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$

Vì $\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}};\frac{{{5^1}}}{{{6^1}}};...;\frac{{{5^n}}}{{{6^n}}}$ là cấp số nhân có $\left( {n + 1} \right)$ số hạng với ${u_1} = \frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} = 1,\,q = \frac{5}{6}$. Do đó:

$\frac{{{5^0}}}{{{6^0}}} + \frac{{{5^1}}}{{{6^1}}} + ... + \frac{{{5^n}}}{{{6^n}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{5}{6}}} = 6 - 6.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^{n + 1}} = 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}$

Vậy ${v_n} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 6 - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n} = 8 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} - 5.{\left( {\frac{5}{6}} \right)^n}$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {8 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 5.{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n}} \right] = 8$.

c, Ta có:

$0 \le \left| {\sin n} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| \le \frac{1}{{4n}}$

Mà $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{4n}} = 0$ nên theo nguyên lý kẹp $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left| {\frac{{\sin n}}{{4n}}} \right| = 0$

Xem thêm : SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hai dãy $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ có ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}}$ và ${v_n} = \frac{2}{{n + 2}}$. Khi đó $\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}$ có giá trị bằng

A.
1
B.
2
C.
0
D.
3

Tìm giới hạn của các dãy số sau: a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\); b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\); c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);

b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\);

c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)