Cho ${u_n} = \frac{{2 + {2^2} +  \ldots  + {2^n}}}{{{2^n}}}$. Giới hạn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bằng

A. 1                                        

B. 2                                         

C. -1                                       

D. 0

Bài 1 :

Cho hai dãy $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ có ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}}$ và ${v_n} = \frac{2}{{n + 2}}$. Khi đó $\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}$ có giá trị bằng

Bài 2 :

Tìm $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}$.

Bài 3 :

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 2 + \frac{1}{n},\;\;\;{v_n} = 3 - \frac{2}{n}$

Tính và so sánh: $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ và $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n}$

Bài 4 :

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}$;            

b) $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)$

Bài 5 :

Cho hai dãy số không âm $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ với $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 2$ và $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 3$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}};\;$                            

b) $\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}}$

Bài 6 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1}  - \sqrt n$. Mệnh đề đúng là

A. $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  - \infty$                      

B. $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 1$               

C. $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty$                     

D. $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0$

Bài 7 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất $\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Bài 8 :

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) ${u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}$;                 

b) ${v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}$;            

c) ${w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}$

Bài 9 :

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}};$                   

b) $\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}.$

Bài 10 :

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.$

a) Tính $\lim {u_n},\lim {v_n}.$

b) Tính $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ và so sánh giá trị đó với tổng $\lim {u_n} + \lim {v_n}.$

c) Tính $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)$ và so sánh giá trị đó với tích $\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).$

Bài 11 :

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.$ Tính các giới hạn sau:

a) $\lim {u_n},\lim {v_n}.$

b) $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.$

Bài 12 :

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{2{n^2} + 3n}}{{{n^2} + 1}}$           

b) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 3} }}{n}$

Bài 13 :

Ở trên ta đã biết $\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2}}} = 3$.

a) Tìm các giới hạn $\lim 3$ và $\lim \frac{1}{{{n^2}}}$.

b) Từ đó, nêu nhận xét về $\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ và $\lim 3 + \lim \frac{1}{{{n^2}}}$.

Bài 14 :

Cho các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ thỏa mãn $\lim {u_n} = 2,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 4$. Tìm $\lim \frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}$.

Bài 15 :

Cho $\lim {u_n} = a$, $\lim {v_n} = b$. Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b$                              

B. $\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b$

C. $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b$                                    

D. $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}$

Bài 16 :

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\lim {u_n} = a$ thì $\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a$.

B. Nếu $\lim {u_n} = a$ thì $a \ge 0$ và $\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a$.

C. Nếu $\lim {u_n} = a$ thì $a \ge 0$.

D. Nếu ${u_n} \ge 0$ với mọi $n$ và $\lim {u_n} = a$ thì $a \ge 0$ và $\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a$.

Bài 17 :

Cho $\lim {u_n} = 2$, $\lim {v_n} = 3$. Khi đó, $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)$ bằng:

A. 6                               

B. 5                     

C. 1                     

D. 2  

Bài 18 :

Cho $\lim {u_n} = 3$, $\lim {v_n} =  + \infty$. Khi đó, $\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}$ bằng:

A. $3$                                    

B. $- \infty$               

C. $+ \infty$              

D. $0$

Bài 19 :

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, $\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 1 - \frac{2}{n}$, ${v_n} = 4 + \frac{2}{{n + 2}}$.

Khi đó, $\lim \left( {{u_n} + \sqrt {{v_n}} } \right)$ bằng:

A. 3                               

B. 4                     

C. 5                     

D. 2

Bài 20 :

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$và $\left( {{v_n}} \right)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 1$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = b \in \mathbb{R}$. Xét các khẳng định sau:

(1) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 1 + b$             

(2) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = b$

(3) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = b$                 

(4) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{b}$.

Số khẳng định đúng là:

A. 2                     

B. 1                     

C. 3                     

D. 4

Bài 21 :

Bài 22 :

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3$. Giá trị của $\lim \left( {{u_n}} \right)$ bằng