Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.
-
A.
$m < - \dfrac{1}{3}$
-
B.
$m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
-
C.
$m \leqslant - \dfrac{4}{3}$
-
D.
$m \leqslant 0$
Phương pháp giải
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên $D$:
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in D$.
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in D$.
- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.
Chú ý: Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.
- Kết luận: Đánh giá $g(x)$ suy ra giá trị của $m$
- Bước 3: Kết luận.
Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn
Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $ - 2 < x < 0$)
Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có:
$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$
Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$
Suy ra \(g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) hay \( - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)
Khi đó \(4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{3}\)
Vậy $m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)$ thì:
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến và có đạo hàm trên $\left( { - 5;5} \right)$. Khi đó:
Xem lời giải >>
Bài 4 : 
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4\). Chọn khẳng định đúng:
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
Xem lời giải >>
Bài 7 : 
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
Xem lời giải >>
Bài 8 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Chọn kết luận đúng:
Xem lời giải >>
Bài 9 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x \right) = 2{x^2}$ trên $R$. Chọn kết luận đúng:
Xem lời giải >>
Bài 10 : 
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
Xem lời giải >>
Bài 11 :
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
Xem lời giải >>
Bài 12 :
Cho hàm số: $f(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} + 12x - 5.$ Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?
Xem lời giải >>
Bài 13 :
Hàm số $y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4$ đồng biến trên:
Xem lời giải >>
Bài 14 :
Trong tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - mx - m$ đồng biến trên $R$, giá trị nhỏ nhất của $m$ là:
Xem lời giải >>
Bài 15 :
Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = - {x^3} - {x^2} + mx + 1$ nghịch biến trên $R$?
Xem lời giải >>
Bài 16 :
Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} - m$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.
Xem lời giải >>
Bài 17 :
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{{mx + 2}}{{2x + m}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
Xem lời giải >>
Bài 18 :
Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \geqslant 2\sqrt 3 $ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?
Xem lời giải >>
Bài 19 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2019;\,2019} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, - 1} \right)\)?
Xem lời giải >>
Bài 20 : 
Cho \(f\left( x \right)\) mà đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( {x - 1} \right) + {x^2} - 2x\) đồng biến trên khoảng?
Xem lời giải >>