Bài 9 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $SH$ là đường cao. Chứng minh $SA ⊥ BC$ và $SB ⊥ AC$.

Lời giải chi tiết

Hình chóp tam giác đều nên ta có $H$ là tâm của tam giác đều $ABC$

$SH ⊥ (ABC) \Rightarrow SH ⊥ BC$

Và $AH ⊥ BC$ (vì $H$ là trực tâm)

Suy ra $BC ⊥ (SAH)$

$SA\subset (SAH)\Rightarrow BC ⊥ SA$.

Chứng minh tương tự, ta có:

$SH \, \bot  \, \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \,  \bot  \, AC$.

Mà $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ $\Rightarrow BH \,  \bot  \, AC$

$\Rightarrow AC \,  \bot \,  \left( {SBH} \right);\,\,SB \subset \left( {SBH} \right)$ $\Rightarrow AC \,  \bot  \, SB$

Cách khác:

Sử dụng định lí ba đường vuông góc

+ Ta có: $AH ⊥ BC$

Mà $AH$ là hình chiếu của $SA$ trên $(ABC)$

$⇒ BC ⊥ SA$ ( định lí ba đường vuông góc)

+ Lại có : $AC ⊥ BH.$

$BH$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$

$⇒ AC ⊥ SB$ ( định lí ba đường vuông góc)

 HocTot.Nam.Name.Vn