Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho phương trình \(3x^2– 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0\).

Xác định \(m\) để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Lời giải chi tiết

Ta có : 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

⇔ (m + 1)² – 3.(3m – 5) > 0

⇔ m² + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

⇔ m² – 7m + 16 > 0

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\frac{7}{2} + \frac{{49}}{4} + \frac{{15}}{4} > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0
\end{array}\)

Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm đó là x₁; x₂

Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên giả sử \(\displaystyle {x_2} = 3{x_1}\).

Theo định lí Vi - et ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3} \)

\(\Rightarrow {x_1} + 3{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)

\( \Leftrightarrow 4{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\)

\(\Leftrightarrow {x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\)

Thay \(\displaystyle x_1=\dfrac{m+1}{6}\) vào phương trình ta được:

\(3.{\left( {{{m + 1} \over 6}} \right)^2} - 2(m + 1).{{m + 1} \over 6}\)\( + 3m - 5 = 0 \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{3{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{36}} - \frac{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{6} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{3} + 3m - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{4{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{12\left( {3m - 5} \right)}}{{12}} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 12\left( {3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3{\left( {m + 1} \right)^2} + 12\left( {3m - 5} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - 3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} - 6m - 3 + 36m - 60 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{m^2} + 30m - 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)

+) Với \(\displaystyle m = 3\) ta có phương trình 3x² – 8m + 4 = 0

PT có hai nghiệm x₁ = 2/3 và x₂ = 2 thỏa mãn điều kiện.

+) Với m = 7 ta có phương trình 3x² – 16m + 16 = 0

PT có hai nghiệm x₁ = 4/3 và x₂ = 4 thỏa mãn điều kiện.

Vậy,

Với m=3 thì pt có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{2}{3}\);\(\displaystyle x_2= 2\).

Với \(\displaystyle m = 7\) phương trình có hai nghiệm \(\displaystyle x_1=\dfrac{4}{3}\);\(\displaystyle x_2= 4\).

Cách khác:

Sau khi tìm được \( {x_1} = \frac{{m + 1}}{6}\) ta suy ra \({x_2} = 3{x_1} = 3.\frac{{m + 1}}{6} = \frac{{m + 1}}{2}\)

Theo Viet ta có:

\(\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Rightarrow \frac{{m + 1}}{6}.\frac{{m + 1}}{2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{3m - 5}}{3}\\
\Leftrightarrow 3{\left( {m + 1} \right)^2} = 12\left( {3m - 5} \right)\\
\Leftrightarrow 3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) = 36m - 60\\
\Leftrightarrow 3{m^2} + 6m + 3 - 36m + 60 = 0\\
\Leftrightarrow 3{m^2} - 30m + 63 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)

Từ đó các em cũng ra được đáp án cần tìm.

HocTot.Nam.Name.Vn