Bài 7.17 trang 53 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC′A′) $\bot$ (BDD′B′).

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\widehat {COC'}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C, BD, C'], [A, BD, C'].

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2$

Xét tam giác AA’C vuông tại A có

$A'{C^2} = A{A'^2} + A{C^2} = {a^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 3{a^2} \Rightarrow A'C = a\sqrt 3$

Vậy độ dài đường chéo hình lập phương bằng $a\sqrt 3$

b) Ta có $\begin{array}{l}BD \bot AC,BD \bot AA' \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right);BD \subset \left( {BDD'B'} \right)\\ \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDD'B'} \right)\end{array}$

c) Ta có $C'O \bot BD\left( {BD \bot \left( {ACC'A'} \right)} \right),CO \bot BD \Rightarrow \left[ {C,BD,C'} \right] = \left( {CO,C'O} \right) = \widehat {COC'}$

$OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác COC’ vuông tại C có

$\tan \widehat {COC'} = \frac{{CC'}}{{OC}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2  \Rightarrow \widehat {COC'} = \arctan \sqrt 2$

Ta có $C'O \bot BD\left( {BD \bot \left( {ACC'A'} \right)} \right),AO \bot BD \Rightarrow \left[ {A,BD,C'} \right] = \left( {AO,C'O} \right) = \widehat {AOC'}$

$\widehat {AOC'} = {180^0} - \widehat {COC'} \approx 125,{26^0}$