Bài 70 trang 141 SGK Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Trên tia đối của $BC$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $N$ sao cho $BM = CN.$

a) Chứng minh rằng tam giác $AMN$ là tam giác cân.

b) Kẻ $BH ⊥ AM$ ($H \in AM$), kẻ $CK ⊥ AN\; (K  \in  AN).$ Chứng minh rằng $BH = CK.$

c) Chứng minh rằng $AH = AK.$

d) Gọi $O$ là giao điểm của $HB$ và $KC.$ Tam giác $OBC$ là tam giác gì? Vì sao?

e) Khi $\widehat {BAC} = {60^o}$ và $BM = CN = BC,$ hãy tính số đo các góc của tam giác $AMN$ và xác định dạng của tam giác $OBC.$

Lời giải chi tiết

a) $∆ABC$ cân tại $A$, suy ra  $\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$   (1) 

$\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}$ (hai góc kề bù)  (2)

$\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}$ (hai góc kề bù)   (3)

 Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}$

Xét $∆ABM$ và $∆ACN$ có:

$AB = AC$ ($∆ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {ABM} = \widehat {ACN}$ (chứng minh trên)

$BM = CN$ (giả thiết)

$\Rightarrow ∆ABM = ∆ACN$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat M = \widehat N$ (hai góc tương ứng)

Vậy $∆AMN$ là tam giác cân tại $A.$

b) Xét hai tam giác vuông $BHM$ (vuông tại $H$) và $CKN$ (vuông tại $K$) có :

$BM = CN$ (giả thiết)

$\widehat M = \widehat N$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆BHM  = ∆CKN$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BH = CK$ (hai cạnh tương ứng)

c) Theo câu a) ta có tam giác $AMN$ cân ở $A$ nên $AM = AN$ (*)

Theo câu b ta có $∆BHM = ∆CKN$ nên suy ra $HM = KN$ (2 cạnh tương ứng) (2*).

Từ (*) và (2*) ta có: $AH = AM – HM = AN – KN = AK$

Vậy $AH = AK.$

d) $∆BHM = ∆CKN$ suy ra $\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}$ (2 góc đối đỉnh); $\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}$ (2 góc đối đỉnh)

Nên $\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}$ .

Vậy $∆OBC$ là tam giác cân tại $O.$

e) Khi $\widehat {BAC} = {60^o}$ và $BM = CN = BC$ hình được vẽ lại như sau:

+ $∆ABC$ cân tại $A$ có $\widehat {BAC} = {60^o}$ nên là tam giác đều hay $AB = BC = AC$.

Mặt khác: $BM = CN = BC$ (giả thiết)

Do đó: $AB = BC = AC = BM = CN$. 

Vì $\Delta ABC$ đều nên $\widehat {B_1} = \widehat {C_1} = {60^o}$

Ta có $\widehat {B_1}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABM$ nên $\widehat M + \widehat {BAM}=\widehat {B_1}=60^0$ (***)

Vì $AB = BM$ (chứng minh trên) nên $∆ABM$ cân tại $B$ suy ra $\widehat M = \widehat {BAM}$

Kết hợp với (***) ta có: $\widehat M = \widehat {BAM}= \dfrac{60^0}{2}= {30^o}$ .

Lại có $\Delta AMN$ cân tại $A$ (câu a)

Suy ra $\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}$ .

Theo định lý tổng ba góc trong tam giác $AMN$ ta có:

$\widehat {MAN} +{\widehat {AMN} + \widehat {ANM}}= {180^o}$

$\Rightarrow \widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)$

$= {180^o} - ({30^o+30^0}) = {120^o}$

Vậy $∆AMN$ có $\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.$

+ $∆BHM$ vuông tại $H$ có: $\widehat M = {30^o}$ nên $\widehat {{B_2}} =90^0-\widehat M$$= 90^0-30^0={60^o}$ (tổng 2 góc nhọn của tam giác vuông bằng $90^0$)

$\Rightarrow$ $\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}} = {60^o}$ (2 góc đối đỉnh)

$∆OBC$ cân (theo câu d) có $\widehat {{B_3}} = {60^o}$ nên $∆OBC$ đều.