Bài 6 trang 69 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là $1$ và $2$. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

Lời giải chi tiết

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, $BH=1,\ CH=2$. Ta cần tính $AB,\ AC$.

Cách 1:

Ta có: $BC=BH+HC=1+2=3$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:

        * $AB^2=BH.BC \Leftrightarrow AB^2=1.3=3$

                                         $\Leftrightarrow AB = \sqrt 3$

        * $AC^2=CH.BC \Leftrightarrow AC^2=2.3=6$

                                         $\Leftrightarrow AC=\sqrt 6$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là $\sqrt 3$ và $\sqrt 6$.

Cách 2:

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:

 

$AH^2 = BH.HC=1.2=2 \Rightarrow AH =\sqrt{2}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABH, ta được:

$A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} = {1^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 3 \Rightarrow AB = \sqrt 3$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ACH, ta được:

$A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} = {2^2} + {(\sqrt 2 )^2} = 4 + 2 = 6 \Rightarrow AC = \sqrt 6$

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông cần tìm là $\sqrt 3$ và $\sqrt 6$.