Bài 6 trang 115 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều (Hình 97). Tính theo $a$ thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng $a$.

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá đèn đá muối bằng hình chóp tứ giác đều $S.ABC{\rm{D}}$.

Gọi $O$ là tâm của đáy.

$\Delta SAC$ cân tại $S$ $\Rightarrow SO \bot AC$

$\Delta SBD$ cân tại $S$ $\Rightarrow SO \bot B{\rm{D}}$

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Delta SAO$ vuông tại $O \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\begin{array}{l}{S_{ABC{\rm{D}}}} = A{B^2} = {a^2}\\{V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC{\rm{D}}}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\end{array}$