Bài 5 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Với giả thiết ở Bài tập 4, hãy:

a) Chứng minh rằng $BC\parallel \left( {SAD} \right)$ và tính khoảng cách giữa $BC$ và mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.

b) Chứng minh rằng $BD \bot \left( {SAC} \right)$ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$.

Lời giải chi tiết

a) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow BC\parallel A{\rm{D}}$

Mà $A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)$

$\Rightarrow BC\parallel \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right)$

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}$

$\Rightarrow AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SA{\rm{D}}} \right)} \right) = AB = a$

Vậy $d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = a$.

b) $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow B{\rm{D}} \bot A{\rm{C}}$

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot B{\rm{D}}$

$\Rightarrow B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right)$

Gọi $O = AC \cap B{\rm{D}}$, kẻ $OH \bot SC\left( {H \in SC} \right)$

$B{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow B{\rm{D}} \bot OH$

$\Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = OH$

$\Delta ABC$ vuông tại $B$$\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A$$\Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 3$

$\Delta SAC \backsim \Delta OHC\,(g.g) \Rightarrow \frac{{SA}}{{OH}} = \frac{{SC}}{{OC}} \Rightarrow OH = \frac{{SA.OC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$

Vậy $d\left( {B{\rm{D}},SC} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$.