Bài 4 trang 34 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho vectơ $\overrightarrow{v}$, đường thẳng $d$ vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{v}$. Gọi $d'$ là ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{v}$. Chứng minh rằng phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng $d$ và $d'$.

Lời giải chi tiết

Lấy $A$ bất kì thuộc đường thẳng $d,$ xác định điểm $B$ sao cho $\overrightarrow {AB}  = {{\overrightarrow v } \over 2}$, qua $B$ kẻ đường thẳng $d’ // d$. Khi đó $d’$ chính là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo vector ${{\overrightarrow v } \over 2}$.

Lấy M\) là một điểm bất kì, gọi $M' = {D_d}\left( M \right);\,\,M'' = {D_{d'}}\left( {M'} \right)$

Gọi ${M_0} = MM' \cap d;\,\,{M_1} = M'M'' \cap d' \Rightarrow {M_0}$ và ${M_1}$ lần lượt là trung điểm của $MM'$ và $M'M''$.

Ta có $\overrightarrow {MM'}  = 2\overrightarrow {{M_0}M'} ;\,\,\overrightarrow {M'M''}  = 2\overrightarrow {M'{M_1}}$

$\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {MM''}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'M''}  = 2\overrightarrow {{M_0}M'}  + 2\overrightarrow {M'{M_1}}   \cr   & = 2\left( {\overrightarrow {{M_0}M'}  + \overrightarrow {M'{M_1}} } \right) = 2\overrightarrow {{M_0}{M_1}}  = 2\overrightarrow {AB}  \cr&= \overrightarrow v   \cr   &  \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'' \cr}$

Vậy phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow v$ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua các đường thẳng $d$ và $d'$.

HocTot.Nam.Name.Vn