Bài 4 trang 154 SGK Đại số 10

LG a

$\dfrac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\dfrac{\cot a \cot b+1}{\cot a \cot b-1}$

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) $\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$

+) $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức $\cos (a+b)$ với VT sau đó chia cả tử và mẫu cho $\sin a \sin b$ ta được:

$\begin{array}{l} \dfrac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} + \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} - \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}\\ = \dfrac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}}  \end{array}$

Cách khác:

Có thể biến đổi ngược lại từ VP thành VT như sau:

$\begin{array}{l} \frac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}:\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}.\frac{{\sin a\sin b}}{{\cos \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} \end{array}$

LG b

$\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a – \sin^2b$$= \cos^2b – \cos^2a$

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) $\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .$

+) $\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .$

+) $\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$

+) $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .$

Lời giải chi tiết:

$VT = (\sin a\cos b + \cos a\sin b).$$(\sin a\cos b - \cos a\sin b)$ $= (\sin a\cos b)^2– (\cos a\sin b)^2$ $= {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b$$= \sin^2 a(1 – \sin^2 b) – (1 – \sin^2 a)\sin^2 b$ $= {\sin ^2}a - {\sin ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\sin ^2}a{\sin ^2}b$ $= \sin^2a – \sin^2b \, \, (đpcm)$

Lại có:

${\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b$

$= ( 1– \cos^2a)\cos^2b  – \cos^2 a(1 – \cos^2 b)$ $= {\cos ^2}b - {\cos ^2}b{\cos ^2}a - {\cos ^2}a + {\cos ^2}a{\cos ^2}b$

$=  \cos^2 b – \cos^2 a \, \, (đpcm).$

Hoặc từ $VT = \sin^2a – \sin^2b$ ta có:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\ = \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = 1 - {\cos ^2}a - 1 + {\cos ^2}b\\ = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\\ \Rightarrow VT = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\left( {dpcm} \right) \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\\ = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) - \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a - \cos 2b} \right)\\ = - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {1 - 2{{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - 2{{\sin }^2}b} \right)} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}\left( { - 2{{\sin }^2}a + 2{{\sin }^2}b} \right)\\ = {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right) \end{array}$

Mà

$\begin{array}{l} {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\ = \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = - {\cos ^2}a + {\cos ^2}b \end{array}$

suy ra đpcm.

LG c

$\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b$$= \cos^2b – \sin^2a$

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) $\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$

+) $\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .$

Lời giải chi tiết:

$VT = (\cos a\cos b - \sin a\sin b).(\cos a\cos b + \sin a\sin b)$ $= (\cos a\cos b)^2 – (\sin a\sin b)^2$

$\begin{array}{l} = {\cos ^2}a{\cos ^2}b - {\sin ^2}a{\sin ^2}b\\ = {\cos ^2}a\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right){\sin ^2}b\\ = {\cos ^2}a - {\cos ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\cos ^2a}{\sin ^2}b\\ = {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right)\\ = \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = - {\sin ^2}a + {\cos ^2}b\\ = {\cos ^2}b - {\sin ^2}a \end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) + \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 1 - 2{{\sin }^2}b} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 2{{\sin }^2}b} \right)\\ = {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\\ = \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = {\cos ^2}b - {\sin ^2}a \end{array}$

HocTot.Nam.Name.Vn