Bài 35 SGK trang 104 Hình học 12 Nâng cao

LG a

$d:\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr  y = - 1 - t \hfill \cr  z = 1 \hfill \cr} \right.$ và

$d':\left\{ \matrix{ x = {2 - 3t'} \hfill \cr  y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr  z = 3 \hfill \cr} \right.$

Phương pháp giải:

- Chứng minh d//d'

- Tính d(d,d')=d(M,d').

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua ${M_1}\left( {1; - 1;1} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;0} \right)$.
Đường thẳng d’ đi qua điểm ${M_2}\left( {2; - 2;3} \right)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;0} \right)$. Vì $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương nhưng $\overrightarrow {{u_1}}$; $\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương với $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)$ nên hai đường thẳng đó song song.

Vậy khoảng cách giữa d và d’ là khoảng cách từ $M_1$(1, -1, 1) ∈ d đến đường thẳng d’ và bằng : $d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$

Ta có: $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)$  suy ra $\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 6; - 6;0} \right)$

Vậy khoảng cách cần tìm là:

$d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}$$= \frac{{\sqrt {36 + 36 + 0} }}{{\sqrt {6 + 9} }} = 2$

Quảng cáo

LG b

$d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}$ và

$d':\left\{ \matrix{ x ={ - t'} \hfill \cr  y = {2 + 3t'} \hfill \cr  z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.$

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua $M\left( {0;4; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 1;1; - 2} \right)$.
Đường thẳng d’ đi qua $M'\left( {0;2; - 4} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;3;3} \right)$.
Ta có $\overrightarrow {MM'}  = \left( {0; - 2; - 3} \right);$ $\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9;5; - 2} \right)$.
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 4 \ne 0$

$\Rightarrow d$ và d’ chéo nhau.
Khoảng cách giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:

$d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}$

HocTot.Nam.Name.Vn