Bài 34 trang 61 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hình nón N  có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với SO tại O₁ sao cho $S{O_1} = {1 \over 3}SO.$ Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón N  nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón N.

Lời giải chi tiết

Gọi thiết diện thu được là ${\rm{A}}{{\rm{A}}_1}{B_1}B$.

Vì $S{O_1} = {1 \over 3}SO$ nên

${A_1}{B_1} = {1 \over 3}AB = {1 \over 3}.2R.$

Mặt khác $A{B_1} \bot {A_1}B$ tại I nên

$IO = {1 \over 2}AB,I{O_1} = {1 \over 2}{A_1}{B_1}.$

Vậy $O{O_1} = R + {R \over 3} = {{4R} \over 3}.$

Dễ thấy $S{O_1} = {1 \over 2}O{O_1} = {{2R} \over 3}.$

Từ đó $SO = 2R.$

Gọi thể tích phần hình nón phải tính là $V^ *$ thì $V^ *  = {V_1} - {V_2}$, trong đó :

V₁ là thể tích của hình nón N.

V₂ là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của N. được cắt bởi (P).

Ta có thể tích phần hình nón phải tính là

$\eqalign{  & V ^*  = {V_1} - {V_2} \cr&= {1 \over 3}\pi .O{B^2}.SO - {1 \over 3}\pi .{O_1}{B_1}^2.S{O_1}  \cr  &  = {1 \over 3}\pi ({R^2}.2R - {{{R^2}} \over 9}.{{2R} \over 3}) = {{52\pi {R^3}} \over {81}}. \cr}$

HocTot.Nam.Name.Vn