Bài 33 trang 70 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai đường thẳng $xx’, yy’$ cắt nhau tại $O$ (h. 33).

a) Chứng minh rằng hai tia phân giác $Ot, Ot’$ của một cặp góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Chứng minh rằng: Nếu $M$ thuộc đường thẳng $Ot$ hoặc thuộc đường thẳng $Ot’$ thì $M$ cách đều hai đường thẳng $xx’$ và $yy’.$

c) Chứng minh rằng: Nếu $M$ cách đều hai đường thẳng $xx’, yy’$ thì $M$ thuộc đường thẳng $Ot$ hoặc thuộc đường thẳng $Ot’$.

d) Khi $M ≡ O$ thì khoảng cách từ $M$ đến $xx’$ và $yy’$ bằng bao nhiêu ?

e) Em có nhận xét gì về tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau $xx’, yy’.$

Lời giải chi tiết

a) Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat{xOy}$ 

nên $\widehat{yOt} = \widehat{xOt} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy}$

$Ot'$ là tia phân giác của $\widehat{xOy'}$

nên $\widehat{xOt'} = \widehat{y'Ot'} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}$

$\Rightarrow\widehat{xOt} + \widehat{xOt'} = \dfrac{1}{2}\widehat{xOy} + \dfrac{1}{2}\widehat{xOy'}$$\,=\dfrac{1}{2}\left( \widehat{xOy}+ \widehat{xOy'}\right)$

Mà $\widehat{xOy}$ + $\widehat{xOy'}=  180^o$  ($2$ góc kề bù)

$\Rightarrow$  $\widehat{xOt}$ + $\widehat{xOt'}= \dfrac{1}{2}.{180^o} = {90^o}$

Vậy hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông.

b) Nếu $M$ thuộc $Ot$ hoặc $Ot'$ thì $M$ cách đều hai đường thẳng $xx'$ và $yy'.$

Thật vậy, giả sử $M \in  Ot.$

Do $Ot$ là phân giác của $\widehat{xOy}$ nên $M$ cách đều $Ox, Oy$ (Theo định lí 1)

$\Rightarrow$ $M$ cách đều $xx',yy'$

Nếu $M \in  Ot'$

Do $Ot'$ là phân giác của $\widehat{xOy'}$ nên $M$ cách đều $Ox, Oy'$ (Theo định lí 1)

$\Rightarrow$ $M$ cách đều $xx',yy'$ 

$\Rightarrow$ $M$ thuộc $Ot$ hoặc $Ot'$ thì $M$ cách đều hai đường thẳng $xx'$ và $yy'.$

c) Nếu $M$ cách đều hai đường thẳng $xx', yy'$ và $M$ luôn nằm trong một góc trong bốn góc $\widehat{xOy}$, $\widehat{xOy'}$, $\widehat{x'Oy'}$,  $\widehat{x'Oy}$ thì $M$ phải thuộc phân giác của góc ấy tức $M$ phải thuộc đường thẳng $Ot$ hoặc đường thẳng $Ot'$.

Thật vậy:

M cách đều hai đường thẳng $xx’$ và $yy’$ nên theo định lý 2 ta có:

+ Nếu M thuộc miền trong góc $xOy ⇒ M$ thuộc tia $Ot.$

+ Nếu M thuộc miền trong góc $xOy’ ⇒ M$ thuộc tia $Ot’.$

+ Nếu M thuộc miền trong góc $y’Ox’ ⇒ M$ thuộc tia đối của tia $Ot.$

+ Nếu M thuộc miền trong góc $x’Oy ⇒ M$ thuộc tia đối của tia $Ot’ .$

d) Khi $M ≡ O$ thì khoảng cách từ $M$ đến $xx', yy'$ bằng $0$. 

e) Từ các câu trên ta có nhận xét: Tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau $xx', yy'$ thuộc hai đường thẳng vuông góc nhau lần lượt là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó.

HocTot.Nam.Name.Vn