Bài 32 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Tìm góc giữa d và $\left( \alpha  \right)$.

Phương pháp giải:

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: $\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;3;5} \right)$, $mp\left( \alpha  \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {2;1;1} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa d và $\left( \alpha  \right)$ thì $0 \le \varphi  \le {90^0}$ và

$\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}}$ $= {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}$.

Quảng cáo

LG b

Tìm tọa độ giao điểm của d và $\left( \alpha  \right)$.

Phương pháp giải:

Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết:

d có phương trình tham số

$\left\{ \matrix{ x = 2 + 2t \hfill \cr  y = - 1 + 3t \hfill \cr  z = 1 + 5t \hfill \cr} \right.$.

Thay x, y, z vào phương trình $\left( \alpha  \right)$ ta có:

$2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) = 0$ $\Leftrightarrow t = {1 \over 3}$

Ta được giao điểm $M\left( {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right)$.

LG c

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên $\left( \alpha  \right)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( \beta  \right)$ là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với $\left( \alpha  \right)$ thì hình chiếu d’ của d trên $\left( \alpha  \right)$ là giao tuyến của $\left( \alpha  \right)$ và $\left( \beta  \right)$.

Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{(\beta )}}}$ của $\left( \beta  \right)$ vuông góc với cả $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow n$ nên ta chọn $\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)$.

Ngoài ra, $\left( \beta  \right)$ đi qua d nên cũng đi qua điểm $A\left( {2; - 1;1} \right)$.

Do đó $\left( \beta  \right)$ có phương trình:
$- 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow  - x + 4y - 2z + 8 = 0$.
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right]$ $= \left( {\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr  4\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr  - 2\,\,\,\,\, - 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr  - 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right)$ $= \left( { - 6;3;9} \right) = 3\left( { - 2;1;3} \right)$

Vậy d’ có phương trình tham số là 

$\left\{ \matrix{ x = {8 \over 3} - 2t \hfill \cr  y = t \hfill \cr  z = {8 \over 3} + 3t \hfill \cr} \right.$

HocTot.Nam.Name.Vn