Bài 31 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

LG a

Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

Phương pháp giải:

Kiểm tra tích $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}   \ne 0$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua ${M_1}\left( {8;5;8} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; - 1} \right)$.
Đường thẳng ${d_2}$ đi qua ${M_2}\left( {3;1;1} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 7;2;3} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {5;4;7} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {8;4;16} \right)$.
Do đó $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0$.
Vậy hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Quảng cáo

LG b

Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với ${d_1}$ và ${d_2}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua O song song với cả ${d_1}$ và ${d_2}$.

$Mp\left( \alpha  \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = {1 \over 4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)$.
Vậy $\left( \alpha  \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0$.
Rõ ràng ${M_1},{M_2} \notin \left( \alpha  \right)$.

Vậy $\left( \alpha  \right)$ chính là mặt phẳng cần tìm.

LG c

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$.

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}$

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}$ và ${d_2}$ là:

$d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}$ $= {{168} \over {\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21}$

LG d

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giả sử PQ là đường vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ với $P \in {d_1}\,;\,Q \in {d_2}$. Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: $P\left( {8 + t\,;5 + 2t\,;\,8 - t} \right),\,Q\left( {3 - 7t'\,;\,1 + 2t'\,;\,1 + 3t'} \right)$.
Ta có: $\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)$.
Vectơ $\overrightarrow {PQ}$ đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ nên

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}} = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 5 - 7t' - t + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) - \left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr  - 7\left( { - 5 - 7t' - t} \right) + 2\left( { - 4 + 2t' - 2t} \right) + 3\left( { - 7 + 3t' + t} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \cr  & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6t' - 6t = 6 \hfill \cr  62t' + 6t = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t' = 0 \hfill \cr  t = - 1 \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy $P\left( {7;3;9} \right)\,,\,Q\left( {3;1;1} \right)$ và do đó, đường vuông góc chung của ${d_1}$ và ${d_2}$ có phương trình:

${{x - 3} \over {7 - 3}} = {{y - 1} \over {3 - 1}} = {{z - 1} \over {9 - 1}}$ $\Leftrightarrow {{x - 3} \over 2} = {{y - 1} \over 1} = {{z - 1} \over 4}$

HocTot.Nam.Name.Vn