Bài 3 trang 99 SGK Hình học 12

LG a

Tính thể tích của hình nón theo $r$ và $h$.

Phương pháp giải:

 Thể tích hình nón $V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h$, trong đó $R;h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón.

Gọi chiều cao của khối nón bằng $h$, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính bán kính đáy của hình nón theo $h$ và $r$.

Lời giải chi tiết:

Cắt hình vẽ bằng một mặt phẳng qua trục hình nón, ta có hình vẽ trên, trong đó $AH$ là bán kính đáy hình nón, $SH$ là chiều cao hình nón $SH = h$, $SS'$ là đường kính hình cầu $SS' = 2r$.

Tam giác $SAS'$ vuông tại đỉnh $A$, và $AH$ là đường cao nên:

$AH^2= SH.S'H$ $\Rightarrow AH^2 = h(2r - h)$

$V$_nón = ${1 \over 3}\pi .A{H^2}.SH \Rightarrow V$_nón = ${1 \over 3}\pi {h^2}(2r - h)$

LG b

Xác định $h$ để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Phương pháp giải:

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình nón vừa tìm được ở ý a), sử dụng BĐT Cauchy: $abc \le {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3}$, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c.$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$V$_nón max $\Leftrightarrow$ $2V$_nón = ${\pi  \over 3}.{h^2}(4r - 2h)$ lớn nhất.

Ta có $h^2(4r - 2h) = h.h.(4r - 2h)$$\le {\left( {{{h + h + 4r - 2h} \over 3}} \right)^3} = {\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3}$

Dấu bằng xảy ra thì $V$_nón lớn nhất.

Khi đó $h = 4r - 2h$ $\Rightarrow h = {4 \over 3}r$ 

và $V$_nón max = ${\pi  \over 6}{\left( {{{4r} \over 3}} \right)^3} = {{32} \over {81}}\pi {r^3}$

Cách khác:

HocTot.Nam.Name.Vn