Bài 3 trang 99 SGK Đại số 10

Đề bài

Có ba nhóm máy \(A, B, C\) dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm I lãi \(3\) nghìn đồng, một sản phẩm II lãi \(5\) nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất.

Tiền lãi nhà máy nhận được là \(L = 3x + 5y\) (nghìn đồng).

Theo đề bài: Nhóm A cần 2x + 2y máy;

Nhóm B cần 0x + 2y=2y máy;

Nhóm C cần 2x + 4y máy;

Vì số máy tối đa ở nhóm A là 10 máy, nhóm B là 4 máy, nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

(I) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ 2x+2y\leq 10 \\ 2y\leq 4 \\2x+4y\leq 12 \end{matrix}\right.\)

(II) \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0,y\geq 0\\ y\leq 5-x \\ y\leq 2 \\y\leq-\dfrac{1}{2}x+3 \end{matrix}\right.\)

Khi đó bài toán trở thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nào cho L = 3x + 5y lớn nhất.

Lần lượt vẽ các đường thẳng sau trên hệ trục tọa độ.

\(\begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0\\
2x + 2y = 10\\
2y = 4\\
2x + 4y = 12
\end{array}\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là ngũ giác ABCDE kể cả miền trong.

Ta có: L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE.

Tính giá trị của biểu thức L = 3x + 5y tại các đỉnh ta được:

Tại đỉnh A(0;2), L = 10

Tại đỉnh B(2; 2), L = 16

Tại đỉnh C(4; 1), L = 17

Tại đỉnh D(5; 0), L = 15

Tại đỉnh E(0; 0), L = 0.

Do đó, L = 3x + 5y lớn nhất là 17 (nghìn đồng) khi: x = 4; y = 1

Vậy để có tiền lãi cao nhất, cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.

Số tiền lãi thu được là \( F_C= 3.4 + 5.1 = 17\) nghìn đồng.

HocTot.Nam.Name.Vn