Bài 3 trang 97 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\ {S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d \end{array}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_1} + (n - 1).d\\ \Rightarrow n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1;\;\;d = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{{n - 1}}\\ {S_n} = n.{u_1} + \frac{{n(n - 1)}}{2}.d\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n(n - 1).d}}{{2n}}\\ {S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n.{u_n}}}{n} \end{array}$

Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.

LG b

Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:

Lời giải chi tiết:

Dòng đầu: Biết ${u_1} =  - 2;{u_{20}} = 55$. Tìm d và ${S_{20}}$.

Ta có ${u_{20}} = {u_1} + 19d$

$\Leftrightarrow 55 =  - 2 + 19d \Leftrightarrow d = 3$

${S_{20}} = \frac{{20\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)}}{2}$ $= \frac{{20.\left( { - 2 + 55} \right)}}{2} = 530$

Dòng 2: Biết $d =  - 4;\,\,{S_{15}} = 120$, tìm ${u_1}$ và ${u_{15}}$.

Ta có ${S_{15}} = 15{u_1} + \frac{{15.\left( {15 - 1} \right)}}{2}.d$

$\Leftrightarrow 120 = 15.{u_1} + 105.\left( { - 4} \right)$

$\Leftrightarrow 15{u_1} = 540 \Leftrightarrow {u_1} = 36$

$\Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 36 + 14.\left( { - 4} \right) =  - 20$

Dòng 3: Biết ${u_1} = 3;\,\,d = {4 \over {27}};\,\,{u_n} = 7$. Tìm n và tính ${S_n}$.

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$

$\Leftrightarrow 7 = 3 + \left( {n - 1} \right).{4 \over {27}} \Leftrightarrow n = 28$

${S_{28}} = 28{u_1} + \frac{{28.\left( {28 - 1} \right)}}{2}.d$

$= 28.3 + 378.\frac{4}{{27}} = 140$

Dòng 4: Biết ${u_{12}} = 17$ và ${S_{12}} = 72$. Tìm ${u_1}$ và $d$.

$\begin{array}{l} {S_{12}} = \frac{{12\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right)}}{2}\\ \Leftrightarrow 72 = \frac{{12\left( {{u_1} + 17} \right)}}{2}\\ \Leftrightarrow {u_1} + 17 = 12\\ \Leftrightarrow {u_1} = - 5\\ {u_{12}} = {u_1} + 11d\\ \Leftrightarrow 17 = - 5 + 11d\\ \Leftrightarrow 22 = 11d \Leftrightarrow d = 2 \end{array}$

Dòng 5: Biết ${u_1} = 2;d =  - 5$ và ${S_n} =  - 205$. Tìm n và tính ${u_n}$.

Ta có

$\begin{array}{l} {S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\\ \Leftrightarrow - 205 = n.2 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\left( { - 5} \right)\\ \Leftrightarrow - 410 = 4n - 5n\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 5{n^2} - 9n - 410 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 10\\ n = - \frac{{41}}{5}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow n = 10\\ \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d\\ = 2 + 9.\left( { - 5} \right) = - 43 \end{array}$

Vậy ta điền được bảng như sau :

HocTot.Nam.Name.Vn