Bài 3 trang 61 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}$. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.                     

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.             

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Lời giải chi tiết

• Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

• Ta có: ${u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}$

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1$. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên.

$n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

Chọn A.