Bài 3 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{y_n}} \right)$ với ${y_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n$.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Ta có: ${y_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}$

$\Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1}  - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{y_{n + 1}} - {y_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right) - \left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  - \sqrt {n + 2}  - \sqrt {n + 1} }}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}} = \frac{{\sqrt n  - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}\end{array}$

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  \Leftrightarrow \sqrt n  - \sqrt {n + 2}  < 0\\\sqrt {n + 2}  > 0,\sqrt {n + 1}  > 0,\sqrt n  > 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right) > 0\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt n  - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}} < 0\end{array}$

Vậy ${y_{n + 1}} - {y_n} < 0 \Leftrightarrow {y_{n + 1}} < {y_n}$. Vậy dãy số $\left( {{y_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Cách 2:

Ta có: ${y_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}$

$\Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1}  - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}$

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$\begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  \Leftrightarrow \sqrt {n + 1}  + \sqrt n  < \sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} \Leftrightarrow {y_n} > {y_{n + 1}}\end{array}$

Vậy dãy số $\left( {{y_n}} \right)$ là dãy số giảm.