Bài 3 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a)    $\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$

b)    $\cos \alpha  = \frac{2}{5}$ và $0 < \alpha  < 90^\circ$

c)    $\tan \alpha  = \sqrt 3$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$

d)    $\cot \alpha  = -\frac{1}{2}$ và $270^\circ  < \alpha  < 360^\circ$

Lời giải chi tiết

a)    Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{12}}{{13}}$

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{-{12}}{{13}}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{-5}{{12}}\\\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{-{12}}{5}\end{array} \right.$

b)    Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt {21} }}{5}$

Do $0 < \alpha  < 90^\circ  \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt {21} }}{5}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\sqrt {21} }}{2}\\\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{2\sqrt {21} }}{{21}}\end{array} \right.$

c)    Ta có: $1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{1}{2}$

Do $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{-1}{2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cot \alpha .\tan \alpha  = 1\\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cot \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\sin \alpha  = \frac{{-\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$

d)    Ta có: $1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {\left( -{\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Do $270^\circ  < \alpha  < 360^\circ  \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{-2\sqrt 5 }}{5}.$

Ta có: $\cot \alpha  = -\frac{1}{2} \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }} = -2$

Lại có:

$1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Leftrightarrow 1 + 4 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Do ${270^o} < \alpha  < {360^o} \Rightarrow \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$