Bài 2 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạoCho tứ diện đều (ABCD). Chứng minh rằng (AB bot CD). Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Đề bài Cho tứ diện đều \(ABCD\). Chứng minh rằng \(AB \bot CD\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Cách xác định góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\): Bước 1: Lấy một điểm \(O\) bất kì. Bước 2: Qua điểm \(O\) dựng đường thẳng \(a'\parallel a\) và đường thẳng \(b'\parallel b\). Bước 3: Tính \(\left( {a,b} \right) = \left( {a',b'} \right)\). Lời giải chi tiết Giả sử tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC,A{\rm{D}}\). \(M\) là trung điểm của \(AC\) \(N\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow MN\parallel AB,MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\) \(M\) là trung điểm của \(AC\) \(P\) là trung điểm của \(AD\) \( \Rightarrow MP\) là đường trung bình của tam giác \(AC{\rm{D}}\) \( \Rightarrow MP\parallel C{\rm{D,MP}} = \frac{1}{2}C{\rm{D}} = \frac{a}{2}\) Ta có: \(MN\parallel AB,MP\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = \left( {MN,MP} \right) = \widehat {NMP}\) Ta có: \(BP\) là trung tuyến của tam giác \(ABD\)\( \Rightarrow BP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{B^2} + B{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \(CP\) là trung tuyến của tam giác \(ACD\)\( \Rightarrow CP = \frac{{\sqrt {2\left( {A{C^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right) - A{{\rm{D}}^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \(NP\) là trung tuyến của tam giác \(BCP\)\( \Rightarrow NP = \frac{{\sqrt {2\left( {B{P^2} + C{{\rm{P}}^2}} \right) - B{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Xét tam giác \(MNP\) có: \(\cos \widehat {NMP} = \frac{{M{N^2} + M{P^2} - N{P^2}}}{{2.MN.MP}} = 0 \Rightarrow \widehat {NMP} = {90^ \circ }\) Vậy \(\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = {90^ \circ }\).  Chia sẻ Bình luận
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
|
