Bài 2 trang 34 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y+ 1= 0. Tìm ảnh của A và.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1;2)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x + y+ 1= 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\)

LG a

Qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow v = (2;1)\)

Phương pháp giải:

\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \).

Ảnh của đường thẳng qua 1 phép tịnh tiến là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A’, d’\) lần lượt là ảnh của \(A\) và \(d\) qua các phép biến hình. Dễ dàng kiểm tra được \(A \in d\)

\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v  \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} + 1 = 2 \hfill \cr   {y_{A'}} - 2 = 1 \hfill \cr}  \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} = 1 \hfill \cr   {y_{A'}} = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A'\left( {1;3} \right)\)

Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua \({T_{\overrightarrow v }} \)

\(\Rightarrow d'//d\) hoặc \(d'\) trùng \(d\)

\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(d’\) có dạng: \(3x + y + c = 0\)

\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A'\left( {1;3} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \) \(\Rightarrow 3 + 3 + c = 0 \).

\(\Leftrightarrow c =  - 6\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d’\) là \(3x + y - 6 = 0\).

LG b

Qua phép đối xứng qua trục \(Oy\)

Phương pháp giải:

+) Phép đối xứng trục \(Oy\) biến điểm \(A\left( {x;y} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - x;y} \right)\).

+) Tìm ảnh của đường thẳng \(d,\) ta lấy hai điểm \(A, B\) bất kì thuộc đường thẳng \(d,\) tìm ảnh\(A'; B'\) của hai điểm \(A, B\) qua phép đối xứng trục \(Oy,\) khi đó ảnh của đường thẳng \(d\) chính là đường thẳng \(A'B'.\)

Lời giải chi tiết:

\({D_{Oy}}\left( A \right) = A'\left( {1;2} \right)\)

Lấy điểm \(B\left( {0; - 1} \right) \in d \Rightarrow {D_{Oy}}\left( B \right) = B'\left( {0; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) \( \Rightarrow d' \equiv A'B' \)

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( { - 1; - 3} \right)\) nên \(A'B'\) nhận \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {3; - 1} \right)\) làm VTPT.

Mà \(A'B'\) đi qua \(B'(0;-1)\) nên phương trình đường thẳng \(d’\) là:

\(3\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0\)

LG c

Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ

Phương pháp giải:

+) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến \(A\left( {x;y} \right)\)  thành \(A'\left( { - x;-y} \right)\).

+) Ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng là 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

\({D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right)\)

Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua \({D_{\left( O \right)}}\) và \(O\) không thuộc \(d\) nên \( \Rightarrow d'//d \)

\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(d’\) có dạng: \(3x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne 1} \right)\)

\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\,\,{D_{\left( O \right)}}\left( A \right) = A'\left( {1; - 2} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow 3 - 2 + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow c =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d’\) là \(3x + y - 1 = 0\).

LG d

Qua phép quay tâm \(O\) góc \( 90^{\circ}\)

Phương pháp giải:

Ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép quay tâm \(O\) góc \(90^0\) là đường thẳng vuông góc với \(d.\)

Lời giải chi tiết:

\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( {x';y'} \right) \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - {y_A} = - 2\\
y' = {x_A} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)\)

Đường thẳng \(d’\) là ảnh của \(d\) qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}} \Rightarrow d' \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng \(d’\) có dạng: \(x - 3y + c = 0\).

\(A\left( { - 1;2} \right) \in d;\) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A'\left( { - 2; - 1} \right) \)

\(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow  - 2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 .\)

\(\Leftrightarrow c =  - 1\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d’\) là \(x - 3y - 1 = 0\).

Cách khác:

Lấy \(A(-1;2)\) và \(B(0;-1)\) thuộc \(d\) và  \(Q_{(O, 90^o})\) biến \(A\) thành \(A’(-2; -1)\) biến \(B\) thành \(B’(1; 0).\)

Mà \(A, B\) thuộc \(d\) nên \(A’, B’\) thuộc \(d’.\)

Vậy \(Q_{(O, 90^o})\) biến \(d\) thành \(d’\) qua hai điểm \(A’, B’\)

Do đó phương trình \(d’\) là phương trình \(A'B'.\)

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {1; - 3} \right)\) là VTPT của \(d'.\)

Mà \(d'\) đi qua \(B'(1;0)\) nên có phương trình:

\(1(x-1)-3(y-0)=0\) hay \(x-3y-1=0.\)

 HocTot.Nam.Name.Vn

  • Bài 3 trang 34 SGK Hình học 11

    Giải bài 3 trang 34 SGK Hình học 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3;-2), bán kính 3.

  • Bài 4 trang 34 SGK Hình học 11

    Cho vectơ v, đường thẳng d vuông góc với giá của vectơ v. Gọi d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ.

  • Bài 5 trang 35 SGK Hình học 11

    Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

  • Bài 6 trang 35 SGK Hình học 11

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1;-3), bán kính 2. Viết phương trình ảnh của đường tròn (I;2)...

  • Bài 7 trang 35 SGK Hình học 11

    Cho hai điểm A,B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN.

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

close