Bài 1.9 trang 21 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính $\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;$biết:

a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi$;                 

b) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi$ nên $\cos a < 0$

Ta có: ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a  = 1$

 $\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a  = 1$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}a =  1 - \frac{1}{9}= \frac{8}{9}$

$\Leftrightarrow \cos a  =\pm\sqrt { \frac{8}{9}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Vì $\cos a < 0$ nên $cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Suy ra $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$

Ta có: $\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}$

$\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

$\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 - {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}$

b) Vì $\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}$ nên $\sin a > 0,\cos a < 0$

${\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}$

Suy ra $\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} - 1 =  - \frac{3}{4}$

Ta có: ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\;$

$\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} - {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - \cos a - \frac{3}{4} = 0$

$\Rightarrow \cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}$ (Vì $\cos a < 0)$

$\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

$\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}$