Bài 17 trang 63 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ và $M$ là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $BM$ và cạnh $AC$.

a) So sánh $MA$ với $MI + IA$, từ đó chứng minh $MA + MB < IB + IA.$

b) So sánh $IB$ với $IC + CB$, từ đó chứng minh $IB + IA < CA + CB$.

c) Chứng minh bất đẳng thức $MA + MB < CA + CB.$

Lời giải chi tiết

a) $M$ nằm trong tam giác $ABC$ nên ba điểm $A, M, I$ không thẳng hàng. 

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $∆AMI$ ta có:

$MA < MI + IA$        (1)

Cộng $MB$ vào hai vế của (1) ta được:

$MA + MB < MB + MI + IA$

Mà $MB + MI = IB$

$\Rightarrow  MA + MB < IB + IA$ (điều phải chứng minh).

b) Ba điểm $B, I, C$ không thẳng hàng.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $∆BIC$ ta có:

$IB < IC + BC$       (2).

Cộng $IA$ vào hai vế của (2) ta được:

$IB + IA < IA + IC + BC$

Mà $IA + IC = AC$

$\Rightarrow IB + IA < AC + BC$ (điều phải chứng minh).

c) Vì $MA + MB < IB + IA$ (chứng minh trên)

       $IB + IA < AC + BC$ (chứng minh trên)

Suy ra $MA + MB < CA + CB$ (điều phải chứng minh).