Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12

LG a

a) Tính thể tích khối tứ diện $\displaystyle ADMN$.

Phương pháp giải:

Coi khối tứ diện $ADMN$ có đỉnh $M$ và đáy $ADN$. Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: ${V_{ADMN}} = {V_{M.ADN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính thể tích hình chóp $\displaystyle M.ADN$. Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ANCD) bằng $\displaystyle a$ và diện tích đáy $\displaystyle {S_{ADN}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow {V_{ADMN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}}$ $\displaystyle = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}$

LG b

b) Mặt phẳng $\displaystyle (DMN)$ chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi $\displaystyle (H)$ là khối đa diện chứa đỉnh $\displaystyle A, (H')$ là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\displaystyle {{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}}$.

Phương pháp giải:

Dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $(DMN)$, xác định hai phần khối đa diện cẩn tính thể tích .

Lời giải chi tiết:

Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi $\displaystyle (DMN)$.

Do $\displaystyle (ABCD) // (A'B'C'D')$ nên $\displaystyle (DMN)$ cắt $\displaystyle (A'B'C'D')$ theo một giao tuyến song song với $\displaystyle DN$. Ta dựng thiết diện như sau:

- Từ $\displaystyle M$ kẻ đường thẳng song song với $\displaystyle DN$, đường này cắt cạnh $\displaystyle A'D'$ tại điểm $\displaystyle P$ và cắt đường thẳng $\displaystyle C'B'$ tại điểm $\displaystyle Q$. Trong mặt phẳng $\displaystyle (BCC'B')$ thì $\displaystyle QN$ cắt cạnh $\displaystyle BB'$ tại điểm $\displaystyle R$; đa giác $\displaystyle DNRMP$  chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi $\displaystyle (DMN)$.

- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện $\displaystyle ABNDPMR$. Ta có: ${V_{ABNDPMR}} = {V_{M.ABND}} + {V_{M.NRB}} + {V_{M.AA'PD}}$ $= {V_1} + {V_2} + {V_3}$

Hình chóp $\displaystyle M.ABND$, có đường cao bằng $\displaystyle a$, diện tích đáy là hình thang $\displaystyle ABND$ là: $\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 2} + a} \right).a = {{3{a^2}} \over 4}$

Suy ra: $\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a \Rightarrow {V_1} = {{{a^3}} \over 4}$

Dễ dàng chứng minh được $\displaystyle \Delta CND$ và $\displaystyle \Delta A'PM$ đồng dạng (g.g) nên $\displaystyle \frac{{A'P}}{{CN}} = \frac{{A'M}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A'P = \frac{1}{2}CN = \frac{a}{4}$

Hình chóp $\displaystyle M.AA'PD$ có chiều cao $\displaystyle {a \over 2}$ và diện tích hình thang $\displaystyle AA'PD$ là: $\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 4} + a} \right).a = {{5{a^2}} \over 8}$

Suy ra: $\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{5{a^2}} \over 8} \Rightarrow {V_2} = {{5{a^2}} \over {48}}$

Ta có: $\displaystyle \Delta A'PM = \Delta B'QM \Rightarrow B'Q = A'P$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{B'R}}{{BR}} = \frac{{B'Q}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BR = \frac{{2a}}{3}$

Diện tích tam giác $\displaystyle NRB$ là: $\displaystyle {1 \over 2}.{2 \over 3}a.{a \over 2} = {{{a^2}} \over 6}$

Hình chóp $\displaystyle M.NRB$ có chiều cao $\displaystyle {a \over 2}$ và diện tích đáy $\displaystyle {{{a^2}} \over 6}$ nên:

$\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{{a^2}} \over 6} \Rightarrow {V_3} = {{{a^3}} \over {36}}$

$\displaystyle {V_{ABNDPMR}} = {V_1} + {V_2} + {V_3}$ $\displaystyle = {{5{a^3}} \over {48}} + {{{a^3}} \over 4} + {{{a^3}} \over {36}} = {{55{a^3}} \over {144}}$

Thể tích phần còn lại là: $\displaystyle {{144{a^3}} \over {144}} - {{55{a^3}} \over {144}} = {{89{a^3}} \over {144}}$

Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: $\displaystyle {{55} \over {89}}$

HocTot.Nam.Name.Vn