• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi thử TN THPT môn Toán trường THPT Phụ Dực - Hưng Yên năm 2026 - Lần 2

Số câu: 22 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Toán THPT

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.Nam.Name.Vn chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Tập xác định của hàm số là $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ 2 \\right\\}$.

b) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x - 1.

c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

a) Tập xác định của hàm số là $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ 2 \\right\\}$.

b) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x - 1.

c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

a) Tập xác định của hàm số là $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ 2 \\right\\}$.

b) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x - 1.

c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

Cho hàm số $y = \\dfrac{x^{2} - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \\dfrac{1}{x - 2}$ có đồ thị (C).

a) Tập xác định của hàm số là $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ 2 \\right\\}$.

b) Tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x - 1.

c) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

a) Đúng. Hàm số xác định khi \\(x - 2 \\ne 0 \\Leftrightarrow x \\ne 2\\). Vậy tập xác định của hàm số là \\(D = \\mathbb{R}\\backslash \\left\\{ 2 \\right\\}\\).

b) Sai. Ta có \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  \\pm \\infty } \\left[ {y - (x + 1)} \\right] = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  \\pm \\infty } \\frac{1}{{x - 2}} = 0\\) nên tiệm cận xiên của đồ thị (C) là đường thẳng y = x + 1.

c) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x = 2.

Tung độ giao điểm của hai tiệm cận là y = 2 + 1 = 3. Vậy tâm đối xứng của đồ thị (C) là I(2; 3).

d) Đúng. Ta có \\(y(1) = 1 + 1 + \\frac{1}{{1 - 2}} = 1\\). Vậy đồ thị hàm số đi qua A(1; 1).

a) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

b) Đường thẳng y = ax + b \\((a \\ne 0)\\) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  + \\infty } \\left[ {f(x) - (ax + b)} \\right] = 0\\) hoặc \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - \\infty } \\left[ {f(x) - (ax + b)} \\right] = 0\\).

c) Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

d) Thay tọa độ điểm A vào hàm số, nếu thỏa mãn thì A thuộc đồ thị hàm số.

Xét hình phẳng (H) là miền giới hạn bởi các đoạn thẳng AB, AC và một phần parabol (P) như hình vẽ. Biết A trùng gốc tọa độ, B(2; 2), C(-2; 2). Parabol (P) có đỉnh I(0;6) và qua 2 điểm B, C.

a) Diện tích tam giác ABC bằng 4.

b) Diện tích hình (H) bằng 12.

c) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Ox thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{1412\\pi}{15}$.

d) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Oy thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{32\\pi}{3}$.

a) Diện tích tam giác ABC bằng 4.

b) Diện tích hình (H) bằng 12.

c) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Ox thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{1412\\pi}{15}$.

d) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Oy thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{32\\pi}{3}$.

a) Diện tích tam giác ABC bằng 4.

b) Diện tích hình (H) bằng 12.

c) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Ox thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{1412\\pi}{15}$.

d) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Oy thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{32\\pi}{3}$.

Xét hình phẳng (H) là miền giới hạn bởi các đoạn thẳng AB, AC và một phần parabol (P) như hình vẽ. Biết A trùng gốc tọa độ, B(2; 2), C(-2; 2). Parabol (P) có đỉnh I(0;6) và qua 2 điểm B, C.

a) Diện tích tam giác ABC bằng 4.

b) Diện tích hình (H) bằng 12.

c) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Ox thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{1412\\pi}{15}$.

d) Nếu cho hình (H) quay xung quanh trục Oy thì khối tròn xoay tạo ra có thể tích là $\\dfrac{32\\pi}{3}$.

a) Đúng. \\({S_{\\Delta ABC}} = \\frac{1}{2}d\\left( {A,BC} \\right).BC \\)

\\(= \\frac{1}{2}.2.4 = 4\\).

b) Sai. Giả sử parabol (P) có phương trình \\(y = a{x^2} + bx + c\\).

(P) đi qua các điểm B(2; 2), C(-2; 2), I(0; 6) nên ta có hệ:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}6 = a{.0^2} + b.0 + c\\\\2 = a{.2^2} + b.2 + c\\\\2 = a{( - 2)^2} + b( - 2) + c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a =  - 1\\\\b = 0\\\\c = 6\\end{array} \\right.\\).

Vậy (P): \\(y =  - {x^2} + 6\\).

Đường thẳng AC và AB có phương trình lần lượt là y = -x và y = x.

\\({S_{\\left( H \\right)}} = \\int\\limits_{ - 2}^0 {\\left[ {( - {x^2} + 6) - ( - x)} \\right]dx} \\)

\\(+ \\int\\limits_0^2 {\\left[ {( - {x^2} + 6) - x} \\right]dx}  = \\frac{{44}}{3}\\).

c) Sai. \\({V_1} = \\pi \\int\\limits_{ - 2}^0 {\\left[ {{{( - {x^2} + 6)}^2} - {{( - x)}^2}} \\right]dx} \\)

\\(+ \\pi \\int\\limits_0^2 {\\left[ {{{( - {x^2} + 6)}^2} - {x^2}} \\right]dx}  = \\frac{{1312}}{{15}}\\pi \\).

d) Đúng. (P): \\(y =  - {x^2} + 6 \\Leftrightarrow {x^2} = 6 - y\\);

AB: x = y.

\\({V_2} = \\pi \\int\\limits_0^2 {{y^2}dy}  + \\pi \\int\\limits_2^6 {(6 - y)dy}  = \\frac{{32}}{3}\\pi \\).

Xác định phương trình parabol và các đường thẳng AC, AB. Từ đó áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay ứng dụng tích phân.

Một gian thương đã trà trộn các sản phẩm sữa kém chất lượng (sữa giả) với các sản phẩm sữa chất lượng. Trong một lô hàng có 20 hộp sữa chất lượng và 10 hộp sữa giả. Sau khi một khách hàng đến mua 1 hộp sữa từ lô hàng trên thì lực lượng quản lý thị trường đến và lấy ngẫu nhiên 3 hộp sữa từ lô hàng đó đi kiểm tra. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Xác suất khách hàng mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{1}{3}$.

b) Xác suất để lực lượng quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{146}{203}$.

c) Nếu biết khách hàng đó đã mua phải hộp sữa giả, xác suất để quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1827}$.

d) Nếu biết quản lý thị trường sau khi kiểm tra đã phát hiện lô hàng có hộp sữa giả, xác suất để khách hàng đó mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1314}$.

a) Xác suất khách hàng mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{1}{3}$.

b) Xác suất để lực lượng quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{146}{203}$.

c) Nếu biết khách hàng đó đã mua phải hộp sữa giả, xác suất để quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1827}$.

d) Nếu biết quản lý thị trường sau khi kiểm tra đã phát hiện lô hàng có hộp sữa giả, xác suất để khách hàng đó mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1314}$.

a) Xác suất khách hàng mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{1}{3}$.

b) Xác suất để lực lượng quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{146}{203}$.

c) Nếu biết khách hàng đó đã mua phải hộp sữa giả, xác suất để quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1827}$.

d) Nếu biết quản lý thị trường sau khi kiểm tra đã phát hiện lô hàng có hộp sữa giả, xác suất để khách hàng đó mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1314}$.

Một gian thương đã trà trộn các sản phẩm sữa kém chất lượng (sữa giả) với các sản phẩm sữa chất lượng. Trong một lô hàng có 20 hộp sữa chất lượng và 10 hộp sữa giả. Sau khi một khách hàng đến mua 1 hộp sữa từ lô hàng trên thì lực lượng quản lý thị trường đến và lấy ngẫu nhiên 3 hộp sữa từ lô hàng đó đi kiểm tra. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Xác suất khách hàng mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{1}{3}$.

b) Xác suất để lực lượng quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{146}{203}$.

c) Nếu biết khách hàng đó đã mua phải hộp sữa giả, xác suất để quản lý thị trường phát hiện lô hàng có hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1827}$.

d) Nếu biết quản lý thị trường sau khi kiểm tra đã phát hiện lô hàng có hộp sữa giả, xác suất để khách hàng đó mua phải hộp sữa giả là $\\dfrac{419}{1314}$.

A: “Khách hàng mua phải hộp sữa giả”; B: “Quản lí thị trường phát hiện có sữa giả”.

a) Đúng. Vì có 10 trong tổng số 30 hộp sữa trong lô là giả nên \\(P(A) = \\frac{{10}}{{30}} = \\frac{1}{3}\\).

b) Đúng. Ta có \\(P(\\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\).

\\(P(\\overline B |A) = \\frac{{C_{20}^3}}{{C_{29}^3}} = \\frac{{190}}{{609}}\\)

\\(\\Rightarrow P(B|A) = 1 - P(\\overline B |A) = 1 - \\frac{{190}}{{609}} = \\frac{{419}}{{609}}\\).

\\(P(\\overline B |\\overline A ) = \\frac{{C_{19}^3}}{{C_{29}^3}} = \\frac{{323}}{{1218}}\\)

\\(\\Rightarrow P(B|\\overline A ) = 1 - P(\\overline B |\\overline A ) = 1 - \\frac{{323}}{{1218}} = \\frac{{895}}{{1218}}\\).

\\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\\overline A ).P(B|\\overline A ) \\)

\\(= \\frac{1}{3}.\\frac{{419}}{{609}} + \\frac{2}{3}.\\frac{{895}}{{1218}} = \\frac{{146}}{{203}}\\).

c) Sai. \\(P(B|A) = \\frac{{419}}{{609}}\\).

d) Đúng. \\(P(A|B) = \\frac{{P(A).P(B|A)}}{{P(B)}} = \\frac{{\\frac{1}{3}.\\frac{{419}}{{609}}}}{{\\frac{{146}}{{203}}}} = \\frac{{419}}{{1314}}\\).

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; -2; -1), N(4; 3; 1) và mặt phẳng (P): z = - 5. Mặt cầu (S) đi qua M, N và luôn tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại A (điểm A di động).

a) Phương trình đường thẳng MN là $\\left\\{ \\begin{matrix} {x = 3 + t} \\\\ {y = - 2 + 5t} \\\\ {z = - 1 + 2t} \\end{matrix} \\right.$.

b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).

c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .

d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.

a) Phương trình đường thẳng MN là $\\left\\{ \\begin{matrix} {x = 3 + t} \\\\ {y = - 2 + 5t} \\\\ {z = - 1 + 2t} \\end{matrix} \\right.$.

b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).

c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .

d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.

a) Phương trình đường thẳng MN là $\\left\\{ \\begin{matrix} {x = 3 + t} \\\\ {y = - 2 + 5t} \\\\ {z = - 1 + 2t} \\end{matrix} \\right.$.

b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).

c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .

d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; -2; -1), N(4; 3; 1) và mặt phẳng (P): z = - 5. Mặt cầu (S) đi qua M, N và luôn tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại A (điểm A di động).

a) Phương trình đường thẳng MN là $\\left\\{ \\begin{matrix} {x = 3 + t} \\\\ {y = - 2 + 5t} \\\\ {z = - 1 + 2t} \\end{matrix} \\right.$.

b) Giao điểm của đường thẳng MN và (P) là E(1; -12; -5).

c) Tập hợp các tiếp điểm A của mặt cầu (S) và (P) là đường tròn có bán kính xấp xỉ bằng 13,41 .

d) Giá trị lớn nhất của OA xấp xỉ bằng 25,9.

a) Đúng. Đường thẳng MN đi qua M(3; -2; -1), nhận \\(\\overrightarrow {MN}  = (1;5;2)\\) làm VTCP có phương trình là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + t\\\\y =  - 2 + 5t\\\\z =  - 1 + 2t\\end{array} \\right.\\).

b) Đúng. Ta có: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + t\\\\y =  - 2 + 5t\\\\ - 5 =  - 1 + 2t\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}t =  - 2\\\\x = 1\\\\y =  - 12\\end{array} \\right.\\). Vậy E(1; -12; -5).

c) Sai. \\(\\overrightarrow {ME}  = ( - 2; - 10; - 4) =  - 2\\overrightarrow {MN} \\) nên M nằm giữa N và E.

Hai tam giác EMA và EAN đồng dạng (g.g) nên \\(E{A^2} = EM.EN\\).

Vì N, M, E là các điểm cố định nên \\(E{A^2} = EM.EN\\) không đổi.

Vì E cố định và độ dài EA không đổi nên A thuộc đường tròn tâm E, bán kính EA.

\\(EM = \\sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 10)}^2} + {{( - 4)}^2}}  = 2\\sqrt {30} \\), \\(EN = \\sqrt {{{(4 - 1)}^2} + {{(3 + 12)}^2} + {{(1 + 5)}^2}}  = 3\\sqrt {30} \\).

\\(E{A^2} = EM.EN = 2\\sqrt {30} .3\\sqrt {30}  = 180 \\Rightarrow EA = 6\\sqrt 5  \\approx 13,42\\).

d) Đúng. Gọi H là hình chiếu của O lên (P). Khi đó H(0; 0; -5).

Xét tam giác OAH vuông tại H: \\(O{A^2} = O{H^2} + H{A^2} = {5^2} + H{A^2}\\).

Để OA lớn nhất thì HA lớn nhất. Khi đó, xét trên (P):

\\(H{A_{\\max }} = HE + EA =\\)

\\(\\sqrt {{{(1 - 0)}^2} + {{( - 12 - 0)}^2} + {{( - 5 + 5)}^2}}  + 6\\sqrt 5  \\)

\\(= \\sqrt {145}  + 6\\sqrt 5 \\).

Vậy \\(OA = \\sqrt {{5^2} + {{\\left( {\\sqrt {145}  + 6\\sqrt 5 } \\right)}^2}}  \\approx 25,9\\).

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.

Thầy Nguyễn Công Toàn là một giáo viên dạy hóa rất giỏi ở trường THPT Phụ Dực. Thầy đặc biệt giỏi công nghệ và say mê chuyên môn. Thầy có ngân hàng đề gồm 20 câu rất hay và độc lạ. Trong một buổi giao bài tập về nhà cho đội tuyển học sinh giỏi gồm 5 bạn, thầy để AI lựa chọn ngẫu nhiên một số câu hỏi từ ngân hàng đề trên cho từng bạn. Gọi A là biến cố xảy ra đồng thời các điều kiện sau:

- Số câu hỏi chung của cả 5 bạn là 2.

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 4 bạn bất kì trong đội là 3.

- Số câu hỏi chung của nhóm gồm 3 bạn bất kì trong đội là 4.

Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p. Tính $10^{10}p$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phân loại mỗi câu hỏi dựa trên số lượng học sinh nhận được câu hỏi đó.

Mỗi câu hỏi trong ngân hàng 20 câu có thể được giao cho bất kỳ ai trong số 5 học sinh. Với mỗi câu hỏi, một học sinh có hai trạng thái: hoặc là được giao câu đó, hoặc là không.

- Vì có 5 học sinh, số cách phân phối một câu hỏi là $2^{5} = 32$ cách (bao gồm cả trường hợp không bạn nào nhận được hoặc cả 5 bạn cùng nhận được).

- Với 20 câu hỏi độc lập, tổng số cách phân phối là:

$n(\\Omega) = 32^{20} = {(2^{5})}^{20} = 2^{100}$.

Điều kiện 1: Có đúng 2 câu chung cho cả 5 bạn.

Số cách chọn 2 câu này từ 20 câu là: $C_{20}^{2}$.

Điều kiện 2: Có đúng 3 câu chung cho nhóm 4 bạn bất kỳ.

Lưu ý: \"3 câu chung cho nhóm 4 bạn\" đã bao gồm 2 câu chung của cả 5 bạn ở trên.

Vậy, với mỗi nhóm 4 bạn, có thêm 3 - 2 = 1 câu hỏi mà chỉ đúng 4 bạn đó có (bạn thứ 5 không có).

- Có $C_{5}^{4} = 5$ nhóm 4 bạn. Vậy số câu hỏi thuộc loại \"chỉ 4 người có\" là: 5.1 = 5 câu.

- Số cách chọn 5 câu này từ 18 câu còn lại là: $C_{18}^{5}$.

- Số cách xếp 5 câu này vào 5 nhóm (mỗi nhóm 1 câu) là: 5! (hoặc hiểu là chọn từng câu cho từng nhóm).

Điều kiện 3: Có đúng 4 câu chung cho nhóm 3 bạn bất kỳ.

Các câu chung của nhóm 3 bạn bao gồm: câu chung của cả 5 bạn và các câu chung của nhóm 4 bạn có chứa 3 bạn đó. Với một nhóm 3 bạn bất kỳ (ví dụ bạn {1, 2, 3}):

- Số câu chung cả 5 bạn: 2 câu.

- Số câu chung của nhóm 4 bạn chứa {1, 2, 3}: Có 2 nhóm như vậy là {1, 2, 3, 4} và {1, 2, 3, 5}. Mỗi nhóm này có 1 câu riêng. Tổng là 2 câu.

Vậy hiện tại nhóm 3 bạn đã có 2 + 2 = 4 câu chung.

Theo đề bài, số câu chung của nhóm 3 bạn phải là 4. Điều này đồng nghĩa với việc không có thêm câu hỏi nào mà chỉ đúng 3 bạn có.

Số câu hỏi thuộc loại \"chỉ 3 người có\" là 0 câu.

Các câu hỏi còn lại:

Mỗi câu trong 13 câu còn lại này chỉ có thể rơi vào các trường hợp: có 0 người nhận, 1 người nhận, hoặc 2 người nhận.

Số cách phân bổ cho mỗi câu là: $C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} = 1 + 5 + 10 = 16$ cách.

Vậy 13 câu còn lại có: $16^{13}$ cách chọn.

Ta có $p = \\dfrac{C_{20}^{2}.C_{18}^{5}.5!.16^{13}}{32^{20}}$. Vậy $10^{10}p \\approx 6940$.

Trên một hòn đảo (kí hiệu là điểm A) có một người bị tai nạn nặng không thể di chuyển người bệnh và cần cấp cứu gấp. Do điều kiện trên đảo thiếu thuốc, máu và thiết bị y tế để cấp cứu cho bệnh nhân nên bác sĩ đã cử tàu ca nô đi về đất liền ở vị trí M. Cùng lúc tàu khởi hành, bệnh viện ở vị trí C đã cử xe cứu thương đưa thuốc, máu và vật tư y tế đến vị trí M. Biết rằng BC = 60 km, AB = 20 km, tàu đi với vận tốc 60 km/h và xe cứu thương đi với vận tốc 80 km/h. Tính thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đặt BM = x (km). Biểu diễn thời gian tàu đi từ A đến M và xe cứu thương đi từ C đến M theo x. Tìm x sao cho hai xe đến M cùng thời điểm.

Giả sử BM = x (km, $0 \\leq x \\leq 60$). Khi đó MC = BC – MB = 60 – x (km).

$AM = \\sqrt{AB^{2} + BM^{2}} $

$= \\sqrt{20^{2} + x^{2}} = \\sqrt{400 + x^{2}}$ (km).

Thời gian tàu đi từ A đến M là $\\dfrac{\\sqrt{400 + x^{2}}}{60}$ (giờ), thời gian xe cứu thương đi từ C đến M là $\\dfrac{60 - x}{80}$ (giờ).

Thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu là $t = \\dfrac{2\\sqrt{400 + x^{2}}}{60} = \\dfrac{2(60 - x)}{80}$ (giờ).

Suy ra $ \\dfrac{\\sqrt{400 + x^{2}}}{30} = \\dfrac{60 - x}{40}$

$\\Leftrightarrow 40\\sqrt{400 + x^{2}} = 1800 - 30x$

$ \\Leftrightarrow 4\\sqrt{400 + x^{2}} = 180 - 3x$

$\\Leftrightarrow 16(400 + x^{2}) = 32400 - 1080x + 9x^{2}$

$\\Leftrightarrow 7x^{2} + 1080x - 26000 = 0 $.

Giải phương trình trên được nghiệm $x \\approx 21,17$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu là $\\dfrac{2(60 - x)}{80} \\approx 0,97$ giờ.

Hình bên là hình ảnh một viên gạch men có dạng một hình vuông có độ dài cạnh 8 dm. Hai hình Elip đều có độ dài trục lớn 8 dm và độ dài trục bé 4 dm (các trục song song các cạnh tương ứng của hình vuông và có tâm đối xứng là tâm hình vuông). Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh hình vuông. Ở công đoạn tráng men (chi phí nguyên liệu, thi công, kĩ thuật) với mỗi $m^{2}$: phần tô đen có chi phí 20 nghìn đồng, phần chấm bi (là 1 trong 2 elip như hình vẽ) có chi phí 15 nghìn đồng và phần còn lại có chi phí 10 nghìn đồng. Hãy tính chi phí a triệu đồng của công đoạn tráng men khi doanh nghiệp sản xuất 100000 viên gạch như thế. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy ở vị trí phù hợp. Xác định phương trình các đường elip, từ đó áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.

Chọn hệ trục Oxy sao cho O trùng với tâm viên gạch, trục hoành trùng với trục lớn của elip chấm bi.

Phương trình đường elip chấm bi là: $\\left. \\dfrac{x^{2}}{4^{2}} + \\dfrac{y^{2}}{2^{2}} = 1\\Leftrightarrow\\dfrac{x^{2}}{16} + \\dfrac{y^{2}}{4} = 1\\Leftrightarrow y^{2} = 4 - \\dfrac{x^{2}}{4} \\right.$.

Phương trình đường elip chấm bi nằm phía trên trục hoành là $y = \\sqrt{4 - \\dfrac{x^{2}}{4}}$.

Phương trình elip trắng là: $\\left. \\dfrac{x^{2}}{4} + \\dfrac{y^{2}}{16} = 1\\Leftrightarrow y^{2} = 16 - 4x^{2} \\right.$.

Phương trình đường elip trắng nằm phía trên trục hoành là $y = \\sqrt{16 - 4x^{2}}$.

Xét hệ: $\\left. \\left\\{ \\begin{array}{l} {\\dfrac{x^{2}}{4} + \\dfrac{y^{2}}{16} = 1} \\\\ {\\dfrac{x^{2}}{16} + \\dfrac{y^{2}}{4} = 1} \\end{array} \\right.\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l} {x^{2} = \\dfrac{16}{5}} \\\\ {y^{2} = \\dfrac{16}{5}} \\end{array} \\right. \\right.$.

Do đó, các giao điểm của hai elip có hoành độ là $\\pm \\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}$.

Diện tích elip là:

$S_{E} = 2{\\int\\limits_{- 4}^{4}{\\sqrt{4 - \\dfrac{x^{2}}{4}}dx}} = 8\\pi$ $(dm^{2})$.

Diện tích phần elip tô trắng là:

$S_{T} = 4{\\int\\limits_{0}^{\\dfrac{4\\sqrt{5}}{5}}{\\left( {\\sqrt{16 - 4x^{2}} - \\sqrt{4 - \\dfrac{x^{2}}{4}}} \\right)dx}} \\approx 10,3$ $(dm^{2})$.

Diện tích phần màu đen là:

$S_{D} = \\pi.4^{2} - S_{E} - S_{T} \\approx 14,84$ $(dm^{2})$.

Diện tích phần còn lại của viên gạch là:

$S_{C} = 8^{2} - S_{E} - S_{D} \\approx 24,03$ $(dm^{2})$.

Chi phí tráng men là:

$100000P = 100000\\left( {150S_{E} + 200S_{D} + 100S_{C}} \\right) \\approx 9140000000$ đồng, hay 914 triệu đồng.

Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết bị liên lạc. Tại thời điểm cuối cùng trước khi mất liên lạc con tàu, radar của trung tâm phòng chống lụt bão xác định được tàu ở vị trí T(60; 75; 0) trong hệ Oxyz mà mỗi đơn vị trên trục tương ứng có độ dài 1 km.

Đội cứu hộ đã ngay lập tức dùng trực thăng cứu hộ, sau 2 phút trực thăng ở vị trí A(0; 0; 2). Trong điều kiện bình thường (không gió) động cơ máy bay đẩy được máy bay bay với tốc độ tối đa 400 km/h. Lúc này, sức gió mạnh sẽ đẩy máy bay với vận tốc 50 km/h và hướng theo $\\overset{\\rightarrow}{v_{1}} = \\left( {4;3;0} \\right)$. Động cơ trực thăng đẩy máy bay bay với vận tốc n km/h, hướng theo $\\overset{\\rightarrow}{v_{2}} = \\left( {a;b;0} \\right)$. Một chuyên gia cứu hộ ở trung tâm phân tích được gió và sóng biển đẩy con tàu đi với vận tốc 20 km/h và cũng hướng theo $\\overset{\\rightarrow}{v_{1}} = \\left( {4;3;0} \\right)$ nên đã sử dụng phương án tối ưu, cho máy bay bay từ A hướng đến vị trí có thể gặp được con tàu sớm nhất.

Tính từ thời điểm mất liên lạc con tàu, hãy tính thời gian sớm nhất máy bay tới được vị trí con tàu biết thời gian hạ cánh từ độ cao 2 km xuống mặt biển của máy bay là 1 phút (giả định để đảm bảo an toàn, máy bay cất và hạ cánh theo phương thẳng đứng đồng thời có cơ chế để cân bằng sức gió khi đó). (Tính theo đơn vị phút và làm tròn đến hàng phần chục).

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Ta có $\\left| \\overset{\\rightarrow}{v_{1}} \\right| = \\sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 5$.

Gọi $\\overset{\\rightarrow}{u} = \\dfrac{1}{5}\\overset{\\rightarrow}{v_{1}} = \\left( {\\dfrac{4}{5};\\dfrac{3}{5};0} \\right)$ là vecto đơn vị cùng hướng với $\\overset{\\rightarrow}{v_{1}} = \\left( {4;3;0} \\right)$.

Vecto vận tốc của tàu là $\\overset{\\rightarrow}{v_{T}} = 20.\\overset{\\rightarrow}{u} = (16;12;0)$.

Vị trí của tàu sau t giờ là: $\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 60 + 16t} \\\\ {y = 75 + 12t} \\\\ {z = 0} \\end{array} \\right.$.

Vecto vận tốc của gió là $\\overset{\\rightarrow}{v_{G}} = 50.\\overset{\\rightarrow}{u} = (40;30;0)$.

Vecto vận tốc thực tế của máy bay là: $\\overset{\\rightarrow}{v_{MB}} = \\overset{\\rightarrow}{v_{2}} + \\overset{\\rightarrow}{v_{G}}$.

Gọi x (giờ) là thời gian thực tế trực thăng bay ngang. Vì máy bay ở vị trí A sau 2 phút = $\\dfrac{1}{30}$ giờ; khi máy bay hạ cánh trong 1 phút = $\\dfrac{1}{60}$ giờ thì tàu vẫn di chuyển nên tổng thời gian từ lúc tàu mất liên lạc đến khi máy bay hạ cánh xuống tàu là $x + \\dfrac{1}{30} + \\dfrac{1}{60} = x + \\dfrac{1}{20}$ (giờ).

Khi đó, xét trên mặt phẳng (Oxy):

$\\left( {60 + 16\\left( {x + \\dfrac{1}{20}} \\right);75 + 12\\left( {x + \\dfrac{1}{20}} \\right)} \\right) = x\\overset{\\rightarrow}{v_{2}} + \\left( {40x;30x} \\right)$

$\\left. \\Rightarrow\\left( {\\dfrac{304}{5} + 16x;\\dfrac{378}{5} + 12x} \\right) = x\\overset{\\rightarrow}{v_{2}} + \\left( {40x;30x} \\right) \\right.$

$\\left. \\Rightarrow x\\overset{\\rightarrow}{v_{2}} = \\left( {\\dfrac{304}{5} - 24x;\\dfrac{378}{5} - 18x} \\right) \\right.$.

Suy ra $400^{2}x^{2} = \\left( {\\dfrac{304}{5} - 24x} \\right)^{2} + \\left( {\\dfrac{378}{5} - 18x} \\right)^{2}$.

Giải phương trình trên được nghiệm dương $x \\approx 0,226$ giờ $\\approx 13,6$ phút.

Vậy thời gian sớm nhất máy bay đến được vị trí con tàu là 1 + 13,6 + 2 = 16,6 phút.

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm (0 < x < 3000), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x) = 3000x - x^{2}$ (nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x) = x^{2} + 1440x + 50$ (nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho 1 đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 1000). Hỏi mức thuế phụ thu t (trên 1 đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu nghìn đồng sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó?

Lập hàm lợi nhuận và sử dụng kiến thức về hàm bậc hai để giải:

Hàm số $y = ax^2 +bx + c$ với a < 0 đạt GTLN khi $x = - \\dfrac{b}{2a}$. 

Hàm lợi nhuận: P(x) = F(x) – G(x) – xt

$= 3000x - x^{2} - \\left( {x^{2} + 1440x + 50} \\right) - xt$

$= - 2x^{2} + (1560 - t)x - 50$.

Lợi nhuận P(x) lớn nhất khi $x = - \\dfrac{1560 - t}{2.( - 2)} = \\dfrac{1560 - t}{4}$.

Khi đó, số tiền thuế thu được là $xt = \\dfrac{1560 - t}{4}.t = \\dfrac{1560t - t^{2}}{4}$.

Số tiền thuế lớn nhất khi $1560t - t^{2}$ lớn nhất, hay $t = - \\dfrac{1560}{2.( - 1)} = 780 \\in (0;1000)$ (thỏa mãn).

Người ta dựng một cái lều hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 6 m. Tính thể tích của cái lều đó. (Làm tròn đến hàng phần chục).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính chiều cao SO của khối chóp và áp dụng công thức $V = \\dfrac{1}{3}Bh$.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khi đó, SO là chiều cao khối chóp.

Ta có $\\left. AC = AB\\sqrt{2} = 6\\sqrt{2}\\Rightarrow AO = 3\\sqrt{2} \\right.$.

$SO = \\sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \\sqrt{6^{2} - {(3\\sqrt{2})}^{2}} = 3\\sqrt{2}$.

Thể tích cái lều là:

$V = \\dfrac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \\dfrac{1}{3}3\\sqrt{2}.6^{2} $

$= 36\\sqrt{2} \\approx 50,9$ $(m^{3})$.