• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi học kì 2 - Đề số 8

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: HK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.Nam.Name.Vn chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách.

b) Số cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng là 40 cách.

c) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách.

d) Xác suất để chọn 4 bông có đủ hai màu là $\\dfrac{20}{21}$.

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách.

b) Số cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng là 40 cách.

c) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách.

d) Xác suất để chọn 4 bông có đủ hai màu là $\\dfrac{20}{21}$.

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách.

b) Số cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng là 40 cách.

c) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách.

d) Xác suất để chọn 4 bông có đủ hai màu là $\\dfrac{20}{21}$.

Có 5 bông hồng vàng, 4 bông hồng đỏ (mỗi bông đều khác nhau về hình dáng). Một người cần chọn một bó bông từ số bông này.

a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là 126 cách.

b) Số cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng là 40 cách.

c) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là 50 cách.

d) Xác suất để chọn 4 bông có đủ hai màu là $\\dfrac{20}{21}$.

Có tất cả 9 bông hồng.

a) Đúng. Số cách chọn 4 bông bất kì: \\(C_9^4 = 126\\).

b) Sai. Số cách chọn 4 bông, trong đó có:

- 3 bông hồng vàng: \\(C_5^3.C_4^1 = 40\\).

- 4 bông hồng vàng: \\(C_5^4 = 5\\).

Vậy có tất cả 45 cách chọn 4 bông, trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng.

c) Sai. Số cách chọn 4 bông, trong đó số bông mỗi màu bằng nhau là: \\(C_5^2.C_4^2 = 60\\).

d) Đúng. Xác suất để chọn 4 bông không đủ hai màu: \\(\\frac{{C_5^4 + C_4^4}}{{C_9^4}} = \\frac{1}{{21}}\\).

Xác suất để chọn 4 bông đủ hai màu: \\(1 - \\frac{1}{{21}} = \\frac{{20}}{{21}}\\).

Sử dụng phương pháp tổ hợp.

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\\Delta:\\, 3x - 4y + 3 = 0$ và elip (E): $\\dfrac{x^{2}}{16} + \\dfrac{y^{2}}{9} = 1$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $MF_{1} + 2MF_{2} = 11$. Khi đó $2MF_{1} + MF_{2} = 13$.

b) Đường tròn tâm A(1; -1) tiếp xúc với $\\Delta$ có phương trình là $\\left( {x - 1} \\right)^{2} + \\left( {y + 1} \\right)^{2} = 4$.

c) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u} = \\left( {- 4;3} \\right)$.

d) Đường thẳng d: 4x + 3y – 1 = 0 vuông góc với đường thẳng $\\Delta$.

a) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $MF_{1} + 2MF_{2} = 11$. Khi đó $2MF_{1} + MF_{2} = 13$.

b) Đường tròn tâm A(1; -1) tiếp xúc với $\\Delta$ có phương trình là $\\left( {x - 1} \\right)^{2} + \\left( {y + 1} \\right)^{2} = 4$.

c) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u} = \\left( {- 4;3} \\right)$.

d) Đường thẳng d: 4x + 3y – 1 = 0 vuông góc với đường thẳng $\\Delta$.

a) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $MF_{1} + 2MF_{2} = 11$. Khi đó $2MF_{1} + MF_{2} = 13$.

b) Đường tròn tâm A(1; -1) tiếp xúc với $\\Delta$ có phương trình là $\\left( {x - 1} \\right)^{2} + \\left( {y + 1} \\right)^{2} = 4$.

c) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u} = \\left( {- 4;3} \\right)$.

d) Đường thẳng d: 4x + 3y – 1 = 0 vuông góc với đường thẳng $\\Delta$.

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\\Delta:\\, 3x - 4y + 3 = 0$ và elip (E): $\\dfrac{x^{2}}{16} + \\dfrac{y^{2}}{9} = 1$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $MF_{1} + 2MF_{2} = 11$. Khi đó $2MF_{1} + MF_{2} = 13$.

b) Đường tròn tâm A(1; -1) tiếp xúc với $\\Delta$ có phương trình là $\\left( {x - 1} \\right)^{2} + \\left( {y + 1} \\right)^{2} = 4$.

c) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u} = \\left( {- 4;3} \\right)$.

d) Đường thẳng d: 4x + 3y – 1 = 0 vuông góc với đường thẳng $\\Delta$.

a) Đúng. Theo tính chất Elip: $MF_1 + MF_2 = 2a = 2 . 4 = 8$.

Ta có \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 8\\\\M{F_1} + 2M{F_2} = 11\\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}M{F_1} = 5\\\\M{F_2} = 3\\end{array} \\right.\\)

Vậy \\(2M{F_1} + M{F_2} = 2.5 + 3 = 13\\).

b) Đúng. Bán kính đường tròn là khoảng cách từ A đến $\\Delta$:

\\(R = d\\left( {A,\\Delta } \\right) = \\frac{{\\left| {3.1 - 4( - 1) + 3} \\right|}}{{\\sqrt {{3^2} + {{( - 4)}^2}} }} = 2\\).

Vậy phương trình đường tròn là $\\left( {x - 1} \\right)^{2} + \\left( {y + 1} \\right)^{2} = 4$.

c) Sai. Một vecto pháp tuyến của $\\Delta$ là \\(\\overrightarrow {{n_\\Delta }}  = (3; - 4)\\), suy ra một vecto chỉ phương của $\\Delta$ là \\(\\overrightarrow {{u_\\Delta }}  = (4;3)\\), không cùng phương với \\(\\overrightarrow u  = ( - 4;3)\\) nên \\(\\overrightarrow u  = ( - 4;3)\\) không phải vecto chỉ phương của $\\Delta$.

d) Đúng. Vecto pháp tuyến của d là \\(\\overrightarrow {{n_d}}  = (4;3)\\).

Ta có \\(\\overrightarrow {{n_\\Delta }} .\\overrightarrow {{n_d}}  = 3.4 - 4.3 = 0\\) nên $\\Delta$ vuông góc với d.

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Một gương lõm có mặt cắt hình parabol như hình vẽ dưới, có tiêu điểm cách đỉnh 5 cm, bề sâu của gương là 15 cm. Xét trong hệ tọa độ Oxy với đơn vị đo tương ứng 1 cm. Tính khoảng cách AB (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Xác định phương trình parabol và tung độ của A, từ đó tính AB.

Tiêu điểm các đỉnh 5 cm nên \\(\\frac{p}{2} = 5\\).

Mà \\({y^2} = 2px \\Rightarrow {y^2} = 20x\\).

Khi x = 15 thì \\({y^2} = 20.15 = 300 \\Rightarrow y =  \\pm 10\\sqrt 3 \\).

Vậy \\(AB = 20\\sqrt 3  \\approx 34,6\\) (cm).

Trong mặt phẳng Oxy đường thẳng $\\Delta$ đi qua điểm A(-5; 2) và vuông góc với đường thẳng $d:\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 2 + t} \\\\ {y = - 3 - 2t} \\end{array} \\right.$ có phương trình 2x + by + c = 0. Tính b + c.

\\(\\Delta \\) vuông góc với d nên nhận VTCP của d làm VTPT.

\\(\\Delta \\) vuông góc với d nên nhận \\(\\overrightarrow n  = (1; - 2)\\) làm VTPT.

Phương trình \\(\\Delta \\) là:

\\(1(x + 5) - 2(y - 2) = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow x - 2y + 9 = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow 2x - 4y + 18 = 0\\).

Vậy b + c = -4 + 18 = 14.

Một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ khác nhau và 5 quả cầu màu xanh khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu khác màu phải có đủ 2 màu?

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Có tất cả 12 quả cầu (7 đỏ, 5 xanh).

Số cách chọn 3 quả cầu bất kì: \\(C_{12}^3 = 220\\).

Số cách chọn 3 quả cầu cùng màu: \\(C_7^3 + C_5^3 = 45\\).

Số cách chọn 3 quả cầu có đủ 2 màu: 220 – 45 = 175.

Tính $A = 4x_{1} + 3x_{2}$ với $x_{1};x_{2}$ $\\left( {x_{1} < x_{2}} \\right)$ là các nghiệm của phương trình $\\sqrt{x^{2} - 3x + 5} = \\sqrt{- 2x^{2} + 4x + 1}$.

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay vào các giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

\\(\\sqrt {{x^2} - 3x + 5}  = \\sqrt { - 2{x^2} + 4x + 1} \\)

\\({x^2} - 3x + 5 =  - 2{x^2} + 4x + 1\\)

\\(3{x^2} - 7x + 4 = 0\\)

Giải phương trình trên, được x = 1 và \\(x = \\frac{4}{3}\\).

Thay vào phương trình ban đầu thấy cả hai đều thỏa mãn.

Vậy \\(A = 4.1 + 3.\\frac{4}{3} = 8\\).

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển biểu thức $\\left( {x^{2} + \\dfrac{2}{x}} \\right)^{5}$, $x \\neq 0$.

Số hạng tổng quát thứ \\(k + 1\\) trong khai triển trên là:

\\(C_5^k{\\left( {{x^2}} \\right)^{5 - k}}{\\left( {\\frac{2}{x}} \\right)^k} = C_5^k{.2^k}.{x^{10 - 3k}}\\), \\(0 \\le k \\le 5\\), \\(k \\in \\mathbb{N}\\).

Số hạng chứa \\({x^4}\\) trong khai triển trên ứng với \\(k\\) thỏa mãn:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}10 - 3k = 4\\\\0 \\le k \\le 5\\\\k \\in \\mathbb{N}\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow k = 2\\).

Hệ số của số hạng chứa \\({x^4}\\) trong khai triển trên là:

\\(C_5^2{.2^2} = 10.4 = 40\\).

\\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\\).

Một hộp đựng 12 viên bi khác nhau, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi màu đỏ.

Mỗi cách lấy ngẫu nhiên ba viên bi từ 12 viên bi được coi là một phần tử của không gian mẫu nên số phần tử của không gian mẫu là: \\(n\\left( \\Omega  \\right) = \\;C_{12}^3 = 220\\).

Gọi A là biến cố “3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ”

Để lấy được 2 viên bi màu đỏ, ta có 2 trường hợp sau:

TH1: Lấy được 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

Lấy 2 bi đỏ từ 7 bi đỏ có \\(C_7^2\\) cách.

Lấy 1 bi xanh từ 5 bi xanh có \\(C_5^1\\) cách.

Do đó có \\(C_7^2.C_5^1\\) cách lấy 2 bi đỏ và 1 bi xanh.

TH2: Lấy được 3 bi đỏ và không lấy bi xanh. Lấy 3 bi đỏ từ 7 bi đỏ có \\(C_7^3\\) cách.

Kết hợp 2 trường hợp, theo quy tắc cộng ta có:

\\(n\\left( A \\right) = C_7^2.C_5^1 + C_7^3 = 105 + 35 = 140\\).

 Xác suất cần tìm là \\(P\\left( A \\right) = \\frac{{n\\left( A \\right)}}{{n\\left( \\Omega  \\right)}} = \\frac{{140}}{{220}} = \\frac{7}{{11}}\\).

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Hình vẽ bên mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí I có tọa độ (3; -1) trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).

a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí A có tọa độ (2; 2) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.

a) Đường tròn mô tả ranh giới có tâm I(3; -1) và bán kính R = 3.

Phương trình đường tròn ranh giới: \\({\\left( {x - 3} \\right)^2} + {\\left( {y + 1} \\right)^2} = 9\\).

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí A có tọa độ (2; 2) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm này vì:

\\(IA = \\sqrt {{{\\left( {2 - 3} \\right)}^2} + {{\\left( {2 + 1} \\right)}^2}}  = \\sqrt {10}  > 3 = R\\).

a) Lập phương trình đường tròn tâm I(3; -1) và bán kính R = 3.

b) Tính IA và so sánh với R.