• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi học kì 2 - Đề số 10

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: HK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.Nam.Name.Vn chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Điểm M(1; -1) thuộc đường thẳng $\\Delta$.

b) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\\Delta$ là ${\\overset{\\rightarrow}{u}}_{{}_{\\Delta}} = (2;1)$.

c) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1) và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình là x – 2y – 2 = 0.

d) Đường tròn tâm I(2; 2) tiếp xúc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình $\\left( {x - 2} \\right)^{2} + \\left( {y - 2} \\right)^{2} = 5$.

a) Điểm M(1; -1) thuộc đường thẳng $\\Delta$.

b) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\\Delta$ là ${\\overset{\\rightarrow}{u}}_{{}_{\\Delta}} = (2;1)$.

c) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1) và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình là x – 2y – 2 = 0.

d) Đường tròn tâm I(2; 2) tiếp xúc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình $\\left( {x - 2} \\right)^{2} + \\left( {y - 2} \\right)^{2} = 5$.

a) Điểm M(1; -1) thuộc đường thẳng $\\Delta$.

b) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\\Delta$ là ${\\overset{\\rightarrow}{u}}_{{}_{\\Delta}} = (2;1)$.

c) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1) và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình là x – 2y – 2 = 0.

d) Đường tròn tâm I(2; 2) tiếp xúc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình $\\left( {x - 2} \\right)^{2} + \\left( {y - 2} \\right)^{2} = 5$.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\\Delta$ có phương trình 2x + y – 1 = 0.

a) Điểm M(1; -1) thuộc đường thẳng $\\Delta$.

b) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\\Delta$ là ${\\overset{\\rightarrow}{u}}_{{}_{\\Delta}} = (2;1)$.

c) Đường thẳng d đi qua điểm A(0; 1) và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình là x – 2y – 2 = 0.

d) Đường tròn tâm I(2; 2) tiếp xúc với đường thẳng $\\Delta$ có phương trình $\\left( {x - 2} \\right)^{2} + \\left( {y - 2} \\right)^{2} = 5$.

a) Đúng. Thay tọa độ của M(1; -1) vào phương trình \\(\\Delta \\):

 2.1 + (-1) - 1 = 0, do đó M(1; -1) thuộc đường thẳng \\(\\Delta \\).

b) Sai. \\(\\overrightarrow {{u_\\Delta }}  = (2;1)\\) là một VTPT của \\(\\Delta \\).

c) Sai. d có một VTPT là \\(\\overrightarrow {{u_d}}  = (1; - 2)\\), đi qua A(0; 1) nên có phương trình:

\\(1(x - 0) - 2(y - 1) = 0 \\Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\\).

d) Đúng. Bán kính đường tròn là:

\\(R = d\\left( {I,\\Delta } \\right) = \\frac{{\\left| {2.2 + 2 - 1} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \\sqrt 5 \\).

Phương trình đường tròn tâm I(2; 2), bán kính \\(R = \\sqrt 5 \\):

\\({(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} = 5\\).

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lớp 10C1 có 16 học sinh nam và 18 học sinh nữ, giả sử tất cả các học sinh trong lớp đều có thể đảm nhận các vị trí, nhiệm vụ được giao.

a) Chọn hai học sinh trong lớp 10C1 gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 288 (cách).

b) Chọn 4 học sinh trong lớp 10C1 tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 11900 (cách).

c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10C1 vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư. Khi đó số cách chọn là 560 (cách).

d) Chọn một học sinh trong lớp 10C1 vào vị trí lớp trưởng. Khi đó số cách chọn là 34 (cách).

a) Chọn hai học sinh trong lớp 10C1 gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 288 (cách).

b) Chọn 4 học sinh trong lớp 10C1 tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 11900 (cách).

c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10C1 vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư. Khi đó số cách chọn là 560 (cách).

d) Chọn một học sinh trong lớp 10C1 vào vị trí lớp trưởng. Khi đó số cách chọn là 34 (cách).

a) Chọn hai học sinh trong lớp 10C1 gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 288 (cách).

b) Chọn 4 học sinh trong lớp 10C1 tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 11900 (cách).

c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10C1 vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư. Khi đó số cách chọn là 560 (cách).

d) Chọn một học sinh trong lớp 10C1 vào vị trí lớp trưởng. Khi đó số cách chọn là 34 (cách).

Lớp 10C1 có 16 học sinh nam và 18 học sinh nữ, giả sử tất cả các học sinh trong lớp đều có thể đảm nhận các vị trí, nhiệm vụ được giao.

a) Chọn hai học sinh trong lớp 10C1 gồm 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 288 (cách).

b) Chọn 4 học sinh trong lớp 10C1 tham gia đội Thanh niên xung kích, trong đó có nhiều nhất một học sinh nữ. Khi đó số cách chọn là 11900 (cách).

c) Chọn 3 học sinh nam trong lớp 10C1 vào các vị trí lớp trưởng, bí thư, phó bí thư. Khi đó số cách chọn là 560 (cách).

d) Chọn một học sinh trong lớp 10C1 vào vị trí lớp trưởng. Khi đó số cách chọn là 34 (cách).

a) Đúng. Số cách chọn 1 nam, 1 nữ: 16.18 = 288 (cách).

b) Đúng. Số cách chọn 4 Thanh niên xung kích, trong đó nhiều nhất 1 nữ:

TH1: Không có nữ: \\(C_{16}^4 = 1820\\) (cách).

TH2: Có 1 nữ: \\(C_{18}^1C_{16}^3 = 10080\\) (cách).

Tổng số cách là 1820 + 10080 = 11900 (cách).

c) Sai. Số cách chọn 3 học sinh nam vào các vị trí khác nhau: \\(A_{16}^3 = 3360\\) (cách).

d) Đúng. Số cách chọn 1 lớp trưởng: 16 + 18 = 34 (cách).

Áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, tổ hợp.

Cho phương trình $\\sqrt{2x^{2} + 3x - 4} = 5x - 6$. Tổng các nghiệm của phương trình bằng $\\dfrac{a}{b}$ với $a,b \\in {\\mathbb{N}}^{*}$ và $\\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tìm a + b.

Bình phương hai vế, giải phương trình và thay các giá trị x vừa tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn.

\\(\\sqrt {2{x^2} + 3x - 4}  = 5x - 6\\)

\\(2{x^2} + 3x - 4 = {(5x - 6)^2}\\)

\\(2{x^2} + 3x - 4 = 25{x^2} - 60x + 36\\)

\\(23{x^2} - 63x + 40 = 0\\).

Giải phương trình trên được x = 1 và \\(x = \\frac{{40}}{{23}}\\).

Thay lại vào phương trình ban đầu thấy chỉ có nghiệm \\(x = \\frac{{40}}{{23}}\\) thỏa mãn.

Tổng các nghiệm của phương trình là \\(\\frac{{40}}{{23}} = \\frac{a}{b} \\Rightarrow 40 + 23 = 63\\).

Trong mặt phẳng Oxy cho elip có phương trình chính tắc $\\dfrac{x^{2}}{25} + \\dfrac{y^{2}}{9} = 1$. Tính tiêu cự của elip đã cho?

Từ phương trình elip, xác định \\({a^2} \\), \\({b^2} \\). Áp dụng công thức \\(c = \\sqrt {{a^2} - {b^2}} \\).

Từ phương trình elip, ta xác định được \\({a^2} = 25\\), \\({b^2} = 9\\).

Tiêu cự của elip là:

\\(2c = 2\\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\\sqrt {25 - 9}  = 8\\).

Có một lưới ô vuông với kích thước 5x10 (hình vẽ). Một con ốc sên bò từ A đến B đi theo cạnh của các hình vuông nhỏ chỉ theo hướng từ dưới lên trên hoặc từ trái qua phải. Tính xác suất để ốc sên đi qua điểm C.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Con ốc sên bò từ A đến B trên lưới kích thước 5 x 10. Để đi từ A đến B, sên cần đi 10 bước sang phải và 5 bước lên trên. Tổng cộng sên phải đi 10 + 5 = 15 bước. Số cách đi từ A đến B là số cách chọn 5 bước lên trên trong tổng số 15 bước: $n(\\Omega) = C_{15}^5 = 3003$.

Từ A đến C đi 6 bước sang phải và 2 bước lên trên. Tổng số bước là 6 + 2 = 8.  Số cách đi từ A đến C là số cách chọn 2 bước lên trên trong tổng số 8 bước: $n(\\Omega) = C_{8}^2 = = 28$.

Từ C đến B đi 4 bước sang phải và 3 bước lên trên. Tổng số bước là 4 + 3 = 7.  Số cách đi từ C đến B là số cách chọn 3 bước lên trên trong tổng số 7 bước: $n(\\Omega) = C_{7}^3  = 35$.

Tổng số đường đi qua C: 28.35 = 980.

Xác suất để con ốc sên đi qua C là: \\(\\frac{{980}}{{3003}} \\approx 0,33\\).

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{2}y^{3}$ trong khai triển ${(2x - y)}^{5}$.

Khai triển nhị thức Newton và xác định hệ số.

\\({(2x - y)^5} = 32{x^5} - 80{x^4}y + 80{x^3}{y^2} - 40{x^2}{y^3} + 10x{y^4} - {y^5}\\).

Dựa vào khai triển trên, hệ số của \\({x^2}{y^3}\\) là -40.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(1; 2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\\Delta_{1}$ đi qua M và nhận $\\overset{\\rightarrow}{u}(3; - 4)$ làm vectơ chỉ phương.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\\Delta_{2}$ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0.

a) PT của đường thẳng \\({\\Delta _1}:\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 3t\\\\y = 2 - 4t\\end{array} \\right.\\).

b) Vì \\({\\Delta _2}{\\rm{//}}d:4x + 2y + 1 = 0 \\Rightarrow {\\Delta _2}:4x + 2y + m = 0\\) , \\((m \\ne 1)\\).

Mà \\({\\Delta _2}\\) đi qua \\(M\\left( {1;2} \\right)\\) nên ta có \\(4.1 + 2.2 + m = 0 \\Rightarrow m =  - 8\\) (TM).

\\( \\Rightarrow {\\Delta _2}:2x + y - 4 = 0\\).

Sử dụng kiến thức về phương trình đường thẳng.

Một viên bi được ném xiên từ vị trí A cách mặt đất 2 m theo quỹ đạo dạng parabol như hình vẽ bên. Tìm khoảng cách từ vị trí E đến vị trí F, biết rằng vị trí E là nơi viên bi rơi xuống chạm mặt đất.

Giả sử gốc toạ độ tại điểm F. Đường đi của viên bi là (P) có phương trình \\(y = a{x^2} + bx + c\\) \\((a \\ne 0)\\) . Theo hình vẽ ta có: (P) có đỉnh là C(1; 7) và đi qua điểm A(0; 2).

Lập được hệ \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{c}}{ - \\frac{b}{{2a}} = 1}\\\\{a \\cdot {1^2} + b \\cdot 1 + c = 7}\\\\{a \\cdot {0^2} + b \\cdot 0 + c = 2}\\end{array}} \\right.\\)

\\( \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 0}\\\\{a + b + 2 = 7}\\\\{c = 2}\\end{array} \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 5}\\\\{b = 10}\\\\{c = 2}\\end{array}} \\right.} \\right.\\).

Do đó (P): \\(y =  - 5{x^2} + 10x + 2\\).

Điểm \\(E\\) là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên hoành độ của điểm E là nghiệm của phương trình \\( - 5{x^2} + 10x + 2 = 0\\), kết hợp với điều kiện \\({x_E} > 0\\) ta nhận \\({x_1} = \\frac{{5 + \\sqrt {35} }}{5}\\).

Vậy khoảng cách từ vị trí \\(E\\) đến vị trí \\(F\\) là \\(\\frac{{5 + \\sqrt {35} }}{5} \\approx 2,18\\) mét.

Từ các điểm thuộc parabol, tìm phương trình của parabol, sau đó tìm giao điểm có hoành độ dương của parabol đó với trục hoành.

Một cuộc họp có sự tham gia của 21 nhà khoa học, chia thành ba lĩnh vực: Toán học, Vật lí và Hóa học. Trong đó lĩnh vực Toán học gồm có 4 nam và 2 nữ; lĩnh vực Vật lí gồm có 3 nam và 4 nữ; lĩnh vực Hóa học gồm có 4 nam và 4 nữ. Người ta muốn lập một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học. Tính xác suất để ban thư kí được chọn có đủ cả ba lĩnh vực và có cả nam lẫn nữ.

Ta có \\(n(\\Omega ) = C_{21}^4 = 5985\\).

Gọi \\(A\\) là biến cố chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực. Khi đó:

Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: \\(C_6^2.C_7^1.C_8^1 = 840\\).

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lí, 1 nhà Hóa học là: \\(C_6^1.C_7^2.C_8^1 = 1008\\).

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lí, 2 nhà Hóa học là: \\(C_6^1.C_7^1.C_8^2 = 1176\\).

\\( \\Rightarrow n\\left( A \\right) = 840 + 1008 + 1176 = 3024\\).

Gọi \\(B\\) là biến cố chọn ra 4 nhà khoa học đủ cả ba lĩnh vực mà trong đó chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.

Khi đó:

- Số cách chọn chỉ có nam:

\\(C_4^2.C_3^1.C_4^1 + C_4^1.C_3^2.C_4^1 + C_4^1.C_3^1.C_4^2 = 192\\).

- Số cách chọn chỉ có nữ:

\\(C_2^2.C_4^1.C_4^1 + C_2^1.C_4^2.C_4^1 + C_2^1.C_4^1.C_4^2 = 112\\)

\\( \\Rightarrow n\\left( B \\right) = 192 + 112 = 304\\).

Suy ra số cách chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả ba lĩnh vực, trong đó có cả nam lẫn nữ là: \\(3024 - 304 = 2720\\) hay \\(n(A) = 2720\\).

Vậy \\(P(A) = \\frac{{n\\left( A \\right)}}{{n\\left( \\Omega  \\right)}} = \\frac{{2720}}{{5985}} = \\frac{{544}}{{1197}}\\).

Kết hợp phương pháp tổ hợp và tính xác suất của biến cố đối.