Lý thuyết về đại lượng tỷ lệ thuận

I. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa đại lượng tỉ lệ thuận

Ví dụ: Nếu $y = 3x$ thì  $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $3$, hay $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số $\dfrac{1}{3}.$

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận

Phương pháp:

+ Xác định hệ số tỉ lệ $k.$

+ Dùng công thức $y = kx$ để tìm các giá trị tương ứng của $x$ và $y.$

Dạng 2: Xét tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng khi biết bảng giá trị tương ứng của chúng

Phương pháp:

Xét xem tất cả các thương của các giá trị tương ứng của hai đại lượng xem có bằng nhau không?

Nếu bằng nhau thì hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Nếu không bằng nhau thì hai đại lượng không tỉ lệ thuận.

Dạng 3: Bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Phương pháp:

+ Xác định tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng

+ Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Dạng 4: Chia một số thành những phần tỉ lệ thuận với các số cho trước

Phương pháp:

Giả sử chia số $P$ thành ba phần $x,\,y,\,z$ tỉ lệ với các số $a,b,c$, ta làm như sau:

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}$

Từ đó $x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b$; $z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho biết đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $- 5$. Hãy biểu diễn $y$ theo $x$.

A. $y = \dfrac{1}{5}x$

B. $y =  - 5x$

C. $y =  5x$

D. $y =  - \dfrac{1}{5}x$

Lời giải

Vì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y tỉ lệ thuận theo hệ số tỉ lệ $- 5$ nên thì $y$ cũng tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $- \dfrac{1}{5}$

Vậy $y =  - \dfrac{1}{5}x.$

Đáp án D

Câu 2. Cho đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $k$ . Khi $x = 12$ thì $y =  - 3$.

Hệ số tỉ lệ là:

A. $k =  - \dfrac{1}{4}$

B. $k =  - 4$

C. $k = \dfrac{1}{4}$

D. $k = 4$

Lời giải

Vì x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $k$ nên $x = ky.$

Ta có $12 = k.\left( { - 3} \right) \Rightarrow k =  - 4.$

Đáp án B

Câu 3. Cho biết x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $- 3$. Cho bảng giá trị sau:

Khi đó:

A. ${y_1} = \dfrac{4}{3};{x_2} =  - 2;{y_3} =  - 3$

B. ${y_1} = \dfrac{4}{3};{x_2} =  - 2;{y_3} =  - \dfrac{1}{3}$

C. ${y_1} = \dfrac{3}{4};{x_2} =  - 2;{y_3} =  - \dfrac{1}{3}$          

D. ${y_1} = \dfrac{4}{3};{x_2} = 2;{y_3} =  - \dfrac{1}{3}$

Lời giải

Vì x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ $- 3$ nên ta có $x =  - 3y$ .

+) $- 4 =  - 3.{y_1}$ suy ra ${y_1} = \dfrac{4}{3}$

+) ${x_2} =  - 3.\dfrac{2}{3} =  - 2$

+) $1 =  - 3.{y_3}$ suy ra ${y_3} =  - \dfrac{1}{3}$

Vậy ${y_1} = \dfrac{4}{3};{x_2} =  - 2;{y_3} =  - \dfrac{1}{3}.$

Đáp án B

Câu 4. Giả sử đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y , ${x_1},{x_2}$ là hai giá trị khác nhau của $x$ ; ${y_1};{y_2}$ là hai giá trị tương ứng của $y$. Tính ${x_1}$ biết ${x_2} = 3;{y_1} = \dfrac{{ - 3}}{5};{y_2} = \dfrac{1}{{10}}$.

A. ${x_1} =  - 18$

B. ${x_1} = 18$

C. ${x_1} =  - 6$

D. ${x_1} = 6$

Lời giải

Vì đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y nên $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_1}}}{{{y_2}}}$ hay $\dfrac{{{x_1}}}{3} = \dfrac{{\dfrac{{ - 3}}{5}}}{{\dfrac{1}{{10}}}} =  - 6 \Rightarrow {x_1} =  - 18.$

Đáp án A

Câu 5. Giả sử $x$ và $y$là hai đại lượng tỉ lệ thuận, ${x_1},{x_2}$ là hai giá trị khác nhau của $x$ ; ${y_1};{y_2}$ là hai giá trị tương ứng của $y$. Tính ${x_1};{y_1}$ biết $2{y_1} + 3{x_1} = 24,{x_2} =  - 6,{y_2} = 3.$

A. ${x_1} = 12;{y_1} = 6$

B. ${x_1} =  - 12;{y_1} =  - 6$

C. ${x_1} = 12;{y_1} =  - 6$    

D. ${x_1} =  - 12;{y_1} = 6$

Lời giải

Vì  $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_1}}}{{{y_2}}}$ nên $\dfrac{{{x_1}}}{{ - 6}} = \dfrac{{{y_1}}}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

 $\dfrac{{{x_1}}}{{ - 6}} = \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{3{x_1}}}{{ - 18}} = \dfrac{{2{y_1}}}{6} = \dfrac{{3{x_1} + 2{y_1}}}{{ - 18 + 6}} = \dfrac{{24}}{{ - 12}} =  - 2$

Nên ${x_1} = \left( { - 2} \right).\left( { - 6} \right) = 12$; ${y_1} = \left( { - 2} \right).3 =  - 6.$

Đáp án C

Câu 6. Cho hai đại lượng $x$ và $y$ có bảng giá trị sau:

Kết luận nào sau đây đúng.

A. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{23}}{{48}}$ 

B. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số  $\dfrac{9}{5}$ 

C. $x$ và $y$ không tỉ lệ thuận với nhau

D. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{5}{9}$

Lời giải

Ta thấy $\dfrac{{2,3}}{{4,8}} \ne \dfrac{{4,8}}{{2,3}}$ nên $x$ và $y$ không tỉ lệ thuận với nhau.

Đáp án C

Câu 7. Dùng $10$ máy thì tiêu thụ hết $80$ lít xăng. Hỏi dùng $13$ máy (cùng loại) thì tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng?

Lời giải

Gọi số xăng tiêu thụ của $13$ máy là $x\,\left( {x > 0} \right)$.

Vì số máy và số xăng tiêu thụ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có

$\dfrac{{80}}{{10}} = \dfrac{x}{{13}}$ suy ra $x = \dfrac{{80.13}}{{10}} = 104$ lít.

Vậy số xăng tiêu thụ của $13$ máy là $104$ lít xăng.

Câu 8. Một chiếc xe máy đi từ A về B và một chiếc ô tô đi từ B về A cùng khởi hành lúc 8 giờ. Biết quãng đường AB dài 120 km, vận tốc xe máy bằng $\dfrac{2}{3}$ vận tốc ô tô. Tính quãng đường xe máy đi được cho đến lúc gặp nhau.

Lời giải

Gọi quãng đường xe máy và ô tô đi được cho đến lúc gặp nhau lần lượt là x và y ( km) ( 0 < x, y < 120)

Vì 2 xe đi ngược chiều nên khi gặp nhau thì tổng quãng đường 2 xe đi được bằng quãng đường AB nên x + y = 120

Vì 2 xe cùng khởi hành một lúc nên thời gian 2 xe đi cho đến lúc gặp nhau là như nhau. Do đó vận tốc và quãng đường đi được là 2 đại lượng tỉ lệ thuận.

Do vận tốc xe máy bằng $\dfrac{2}{3}$ vận tốc ô tô nên quãng đường xe máy đi được bằng $\dfrac{2}{3}$ quãng đường ô tô đi được.

Do đó: x = $\dfrac{2}{3}$. y hay $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{x + y}}{{2 + 3}} = \dfrac{{120}}{5} = 24\end{array}$

Suy ra $x = 24.2 = 48;y = 24.3 = 72$

Vậy quãng đường xe máy đi được cho đến lúc gặp nhau là 48 km.

Câu 9. Ba đơn vị cùng vận chuyển $772$  tấn hàng. Đơn vị A có $12$  xe, trọng tải mỗi xe là $5$tấn. Đơn vị B có $14$  xe, trọng tải mỗi xe là $4,5$ tấn. Đơn vị C có $20$xe, trọng tải mỗi xe là $3,5$tấn. Hỏi đơn vị B đã vận chuyển bao nhiêu tấn hàng, biết rằng mỗi xe được huy động một số chuyến như nhau?

Lời giải

Mỗi lượt huy động xe, các đơn vị vận chuyển một khối lượng hàng tương ứng là:

+ Đơn vị A: $12.5 = 60$ tấn.

+ Đơn vị B: $14.4,5 = 63$ tấn.

+ Đơn vị C: $20.3,5 = 70$ tấn.

Vì số lượt huy động xe là như nhau nên khối lượng hàng vận chuyển được của ba đơn vị tỉ lệ thuận với khối lượng hàng  của các đơn vị vận chuyển được trong mỗi lượt huy động.

Gọi $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$ lần lượt là số tấn hàng các đơn vị A, B, C vận chuyển được ta có:

$\dfrac{x}{{60}} = \dfrac{y}{{63}} = \dfrac{z}{{70}}$ và $x + y + z = 772$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{{60}} = \dfrac{y}{{63}} = \dfrac{z}{{70}} = \dfrac{{x + y + z}}{{60 + 63 + 70}} = \dfrac{{772}}{{193}} = 4$

Do đó $y = 63.4 = 252$ tấn.

Vậy đơn vị B đã vận chuyển $252$ tấn hàng.

Câu 10. Bốn lớp $7{A_1};\,7{A_2};7{A_3};7{A_4}$ trồng được $172$ cây xung quanh trường. Tính số cây của lớp $7{A_4}$ đã trồng được biết số cây của lớp $7{A_1}$ và $7{A_2}$ tỉ lệ với $3$ và $4$, số cây của lớp $7{A_2}$ và $7{A_3}$ tỉ lệ với $5$ và $6$, số cây của lớp $7{A_3}$ và $7{A_4}$ tỉ lệ với $8$ và $9$.

Lời giải

Gọi $x;y;z;t$ lần lượt là số cây trồng được của lớp $7{A_1};\,7{A_2};7{A_3};7{A_4}$ $\left( {x;y;z;t \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4};\dfrac{y}{z} = \dfrac{5}{6};\dfrac{z}{t} = \dfrac{8}{9}$ và $x + y + z + t = 172$.

Vì $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$ hay $\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{{20}}\,\left( 1 \right)$

Vì $\dfrac{y}{z} = \dfrac{5}{6}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}$ hay $\dfrac{z}{{24}} = \dfrac{y}{{20}}\,\left( 2 \right)$

Vì $\dfrac{z}{t} = \dfrac{8}{9}$ $\Rightarrow$$\dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{9}$ hay $\dfrac{z}{{24}} = \dfrac{t}{{27}}\,\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ ta có $\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{{20}} = \dfrac{z}{{24}} = \dfrac{t}{{27}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{{20}} = \dfrac{z}{{24}} = \dfrac{t}{{27}} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{15 + 20 + 24 + 27}} = \dfrac{{172}}{{86}} = 2$

Ta được $\dfrac{t}{{27}} = 2$ nên $t = 27.2 = 54\,\left( {TM} \right)$

Số cây lớp $7{A_4}$ trồng được là $54$ cây.