Lý thuyết Công thức lượng giác - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\\\sin\left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\\\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)

2. Công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

Suy ra, công thức hạ bậc:

 \({\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2},{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\)

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)

B. Bài tập

1. Không dùng máy tính, hãy tính:

a) \(\cos {75^o}\);

b) \(\tan \frac{\pi }{2}\).

Giải:

a) \(\cos {75^o} = \cos ({45^o} + {30^o}) \)

\(= \cos {45^o}\cos {30^o} - \sin {45^o}\sin {30^o}\)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\).

b) \(\tan \frac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) \)

\(= \frac{{\tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{3}.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3 \).

2. Chứng minh rằng \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Giải:

Ta có \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)\)

\( = \sqrt 2 \left( {\sin x\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos x\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sin x + \cos x\) (đpcm).

3. Cho \(\cos a =  - \frac{1}{3}\) \(\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right)\). Tính sin2a.

Giải:

Vì \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \) nên sina > 0.

Do đó \(\sin a = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} \)

\(= \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{8}{9}}  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \(\sin 2a = 2\sin a\cos a \)

\(= 2.\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\left( { - \frac{1}{3}} \right) =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).

4. Cho \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\). Tính:

a) sin2a;

b) cos4a.

Giải:

a) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} - 1 =  - \frac{3}{4}\).

b) \(\cos 4a = \cos (2.2a) = 1 - {\sin ^2}2a =  - \frac{1}{8}\).

5. Biết \(\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Tính \(\cos \frac{\pi }{{12}}\).

Giải:

Ta có \({\cos ^2}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{6}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\).

Mà \(\cos \frac{\pi }{{12}} > 0\) nên \(\cos \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{2}\).

6. Tính giá trị của các biểu thức: \(A = \cos \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\); \(B = \cos {75^o}\sin {15^o}\).

Giải:

\(A = \cos \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} \)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \pi } \right] \)

\(= \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1} \right) = \frac{{\sqrt 3  - 2}}{4}\).

\(B = \cos {75^o}\sin {15^o}\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\sin ({{15}^o} - {{75}^o}) + \sin ({{15}^o} + {{75}^o})} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\sin ( - {{60}^o}) + \sin {{90}^o}} \right] \)

\(= \frac{1}{2}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}\).

7. Cho \(\sin 2x =  - \frac{1}{3}\). Tính \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Giải:

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4} + x - \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {x + \frac{\pi }{4} - x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\sin 2x + \sin \frac{\pi }{2}} \right) \)

\(= \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\).