Giải bài 7.24 trang 56 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí A, B cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Lời giải chi tiết

 

Gọi M là vị trí tàu thu tín hiệu. Gọi ${t_A},{t_B}$ lần lượt là thời gian tín hiệu truyền từ trạm phát A, B đến M. Theo đề bài, ta có ${t_A} - {t_B} =  - 0,0005s$.

Suy ra $MA - MB = v.{t_A} - v.{t_B} = 292000.\left( { - 0,0005} \right) =  - 146km$.

Gọi (H) là hyperbol ở dạng chính tắc nhận A, B làm hai tiêu điểm và đi qua M. Khi đó ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2a = \left| {MA - MB} \right| = 146\\2c = AB = 300\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 73\\c = 150\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 73\\{b^2} = {c^2} - {a^2} = 17171\end{array} \right.$

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: $\frac{{{x^2}}}{{5329}} - \frac{{{y^2}}}{{17171}} = 1$.