Giải bài 3 trang 49 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho biểu thức:

$B = \left( {\dfrac{{5{{x}} + 2}}{{{x^2} - 10{{x}}}} + \dfrac{{5{{x}} - 2}}{{{x^2} + 10{{x}}}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}$

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức B

b) Rút gọn B và tính giá trị của biểu thức B tại x = 0,1

c) Tìm số nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức B là: ${x^2} - 10{{x}} \ne 0;{x^2} + 10{{x}} \ne 0$ hay $x \not \in \left\{ {0; -10 ; 10} \right\}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}B = \left( {\dfrac{{5{{x}} + 2}}{{{x^2} - 10{{x}}}} + \dfrac{{5{{x}} - 2}}{{{x^2} + 10{{x}}}}} \right).\dfrac{{{x^2} - 100}}{{{x^2} + 4}}\\B = \left[ {\dfrac{{5{{x}} + 2}}{{x\left( {x - 10} \right)}} + \dfrac{{5{{x  -  }}2}}{{x\left( {x + 10} \right)}}} \right].\dfrac{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\B = \dfrac{{\left( {5{{x}} + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5{{x}} - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{x\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\B = \dfrac{{5{{{x}}^2} + 52{{x}} + 20 + 5{{{x}}^2} - 52{{x}} + 20}}{{x\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{{x^2} + 4}}\\B = \dfrac{{10\left( {{x^2} + 4} \right).\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right).\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \dfrac{{10}}{x}\end{array}$

Với x = 0,1 ta có:

$B = \dfrac{{10}}{{0,1}} = 100$

c) Để B nguyên thì $\dfrac{{10}}{x}$ nguyên

Suy ra x $\in$ Ư (10) = $\left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10} \right\}$

Mà $x \not \in \left\{ {0; -10 ; 10} \right\}$

Vậy $x \in \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5} \right\}$ thì B nguyên