Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hai tam giác đều ABC và AB’C’ như Hình 9. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Chứng minh ∆AMN đều.

Lời giải chi tiết

Do DABC là tam giác đều nên $AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC$ và $\widehat {BAC} = 60^\circ$

Do DAB’C’ là tam giác đều nên $AB'{\rm{ }} = {\rm{ }}AC'$ và $\widehat {{\rm{B'}}AC'} = 60^\circ$

Ta có phép quay tâm A, góc quay 60° biến:

⦁ Điểm B thành điểm C;

⦁ Điểm B’ thành điểm C’.

Do đó ảnh của đoạn thẳng BB’ qua phép quay tâm A, góc quay 60° là đoạn thẳng CC’.

Mà M, N lần lượt là trung điểm của BB’, CC’ (giả thiết).

Do đó phép quay tâm A, góc quay 60° biến điểm M thành điểm N.

Suy ra $AM{\rm{ }} = {\rm{ }}AN$  và $\widehat {MAN} = \left( {AM,AN} \right) = 60^\circ$

DAMN có $AM{\rm{ }} = {\rm{ }}AN$ và $\widehat {MAN} = 60^\circ$ ° nên là tam giác đều.

Vậy ∆AMN đều.