Đề thi vào 10 môn Toán Sóc Trăng năm 2020

Đề bài

Bài 1:

a) Cho \(a \ge 0\) và \(b < 0\). Rút gọn biểu thức \(P = \sqrt {{a^2}}  - \sqrt {{b^2}} \).

b) Thực hiện phép tính: \(\left( {\sqrt {12}  + \sqrt {75} } \right).\sqrt 3 \).

Bài 2:  Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) \(2{x^2} - 9x - 5 = 0\).                                                        b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - 1\\2x + y = 6061\end{array} \right.\).

Bài 3: Cho hàm số \(y =  - {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,y = 2x - 3\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\(.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) bằng phương pháp đại số.

Bài 4:  Trong thời gian bị ảnh hưởng bởi đại dịch COVID-19, một công ty may mặc đã chuyển sang sản xuất khẩu trang với hợp đồng là 1000000 cái. Biết công ty có 2 xưởng may khác nhau là xưởng X1 và xưởng X2. Người quản lí xưởng cho biết: nếu cả 2 xưởng cùng sản xuất thì trong 3 ngày sẽ đạt được 437500 cái khẩu trang; còn nếu để mỗi xưởng tự sản xuất số lượng 1000000 cái khẩu trang thi xưởng X1 sẽ hoàn thành sớm hơn xưởng X2 là 4 ngày. Do tình hình dịch bệnh diễn biến phức tạp nên xưởng X1 buộc phải đóng cửa không sản xuất. Hỏi khi chỉ còn xưởng X2 hoạt động thì sau bao nhiêu ngày công ty sẽ sản xuất đủ số lượng khẩu trang theo hợp đồng nêu trên?

Bài 5:  Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là trung điểm của \(MC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OC\). Kẻ \(BM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\), đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\).

a) Chứng minh \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MDC\) và tính tích \(MB.MD\) theo \(AC\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(CE\) với \(BD\) và \(N\) là giao điểm của \(BE\) với \(AC\).  

Chứng minh \(MB.NE.CF = MF.NB.CE\).

Bài 6: Chiếc nón là (hình bên) có dạng hình nón. Biết khoảng cách từ đỉnh của nón đến một điểm trên vành nón là 30cm, đường kính của vành nón là 40cm. Tính diện tích xung quanh của chiếc nón đó.

Lời giải

Bài 1 (1,0 điểm)

Cách giải:

a) Cho \(a \ge 0\) và \(b < 0\). Rút gọn biểu thức \(P = \sqrt {{a^2}}  - \sqrt {{b^2}} \).

Với \(a \ge 0\) và \(b < 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {{a^2}}  - \sqrt {{b^2}} \\P = \left| a \right| - \left| b \right|\\P = a - \left( {0 - b} \right)\\P = a + b\end{array}\)

Vậy Với \(a \ge 0\) và \(b < 0\) thì \(P = a + b\).

b) Thực hiện phép tính: \(\left( {\sqrt {12}  + \sqrt {75} } \right).\sqrt 3 \).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {\sqrt {12}  + \sqrt {75} } \right).\sqrt 3 \\ = \left( {\sqrt {{2^2}.3}  + \sqrt {{5^2}.3} } \right).\sqrt 3 \\ = \left( {2\sqrt 3  + 5\sqrt 3 } \right).\sqrt 3 \\ = 7\sqrt 3 .\sqrt 3  = 7.3 = 21\end{array}\)

Vậy \(\left( {\sqrt {12}  + \sqrt {75} } \right).\sqrt 3  = 21\).

Bài 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) \(2{x^2} - 9x - 5 = 0\).

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.2.\left( { - 5} \right) = 81 + 40 = 121 > 0\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{9 + \sqrt {121} }}{{2.2}} = \dfrac{{9 + 11}}{4} = 5\\{x_2} = \dfrac{{9 - \sqrt {121} }}{{2.2}} = \dfrac{{9 - 11}}{4} =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {5; - \dfrac{1}{2}} \right\}\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - 1\\2x + y = 6061\end{array} \right.\).

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - 1\\2x + y = 6061\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6060\\y = x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2020\\y = 2021\end{array} \right.\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2020;2021} \right)\).

Bài 3 (2,0 điểm)

Cách giải:

Cho hàm số \(y =  - {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,y = 2x - 3\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\(.

Ta có bảng giá trị:

Do đó, parabol \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 4} \right)\), \(\left( { - 1; - 1} \right)\), \(\left( {0;0} \right)\), \(\left( {1; - 1} \right)\), \(\left( {2; - 4} \right)\) và nhận \(Oy\) là trục đối xứng.

Vẽ đồ thị hàm số \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2}\):

b) Tìm tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) bằng phương pháp đại số.

Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình:

\( - {x^2} = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\,\,\left( * \right)\).

Nhận xét: \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\), do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 1\) và \({x_2} = \dfrac{c}{a} =  - 3\).

Với \({x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} =  - {1^2} =  - 1\).

Với \({x_2} =  - 3\) \( \Rightarrow {y_2} =  - {\left( { - 3} \right)^2} =  - 9\).

Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(\left( {1; - 1} \right);\,\,\left( { - 3; - 9} \right)\).

Bài 4 (1,5 điểm)

Cách giải:

Trong thời gian bị ảnh hưởng bởi đại dịch COVID-19, một công ty may mặc đã chuyển sang sản xuất khẩu trang với hợp đồng là 1000000 cái. Biết công ty có 2 xưởng may khác nhau là xưởng X1 và xưởng X2. Người quản lí xưởng cho biết: nếu cả 2 xưởng cùng sản xuất thì trong 3 ngày sẽ đạt được 437500 cái khẩu trang; còn nếu để mỗi xưởng tự sản xuất số lượng 1000000 cái khẩu trang thi xưởng X1 sẽ hoàn thành sớm hơn xưởng X2 là 4 ngày. Do tình hình dịch bệnh diễn biến phức tạp nên xưởng X1 buộc phải đóng cửa không sản xuất. Hỏi khi chỉ còn xưởng X2 hoạt động thì sau bao nhiêu ngày công ty sẽ sản xuất đủ số lượng khẩu trang theo hợp đồng nêu trên?

Gọi thời gian một mình xưởng X2 hoạt động để sản xuất đủ 1000000 khẩu trang theo hợp đồng là \(x\) (ngày) (ĐK: \(x > 4\)).

\( \Rightarrow \) Mỗi ngày xưởng X2 sản xuất được số khẩu trang là: \(\dfrac{{1000000}}{x}\) (chiếc).

Nếu để mỗi xưởng tự sản xuất số lượng 1000000 cái khẩu trang thi xưởng X1 sẽ hoàn thành sớm hơn xưởng X2 là 4 ngày, nên thời gian một mình xưởng X1 hoạt động để sản xuất được 100000 khẩu trang là \(x - 4\) (ngày)

\( \Rightarrow \) Mỗi ngày xưởng X1 sản xuất được số khẩu trang là: \(\dfrac{{1000000}}{{x - 4}}\) (chiếc).

\( \Rightarrow \) Mỗi ngày cả 2 xưởng cùng hoạt động thì sản xuất được số khẩu trang là: \(\dfrac{{1000000}}{x} + \dfrac{{1000000}}{{x - 4}}\) (chiếc).

Nếu cả 2 xưởng cùng sản xuất thì trong 3 ngày sẽ đạt được 437500 cái khẩu trang nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {\dfrac{{1000000}}{x} + \dfrac{{1000000}}{{x - 4}}} \right) = 437500\\ \Leftrightarrow 3000000\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 4}}} \right) = 437500\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 4}} = \dfrac{7}{{48}}\\ \Leftrightarrow 48\left( {x - 4} \right) + 48x = 7x\left( {x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow 48x - 192 + 48x = 7{x^2} - 28x\\ \Leftrightarrow 7{x^2} - 124x + 192 = 0\\ \Leftrightarrow 7{x^2} - 112x - 12x + 192 = 0\\ \Leftrightarrow 7x\left( {x - 16} \right) - 12\left( {x - 16} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 16} \right)\left( {7x - 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 16 = 0\\7x - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{12}}{7}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy khi chỉ còn xưởng X2 hoạt động thì sau 16 ngày công ty sẽ sản xuất đủ số lượng khẩu trang theo hợp đồng nêu trên.

Bài 5 (3,0 điểm)

Cách giải:

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là trung điểm của \(MC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\), bán kính \(OC\). Kẻ \(BM\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(D\), đường thẳng \(AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\).

a) Chứng minh \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(\angle MDC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\)).

\( \Rightarrow \angle BDC = \angle BAC = {90^0}\).

\( \Rightarrow ABCD\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

b) Chứng minh \(\Delta MAB \sim \Delta MDC\) và tính tích \(MB.MD\) theo \(AC\).

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MDC\) có:

\(\angle AMB = \angle DMC\) (đối đỉnh); \(\angle MAB = \angle MDC = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MDC\,\,\left( {g.g} \right)\).

\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow MB.MD = MA.MC\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(MA = MC = \dfrac{1}{2}AC\) \( \Rightarrow MA.MC = \dfrac{1}{2}AC.\dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{4}A{C^2}\).

Vậy \(MB.MD = \dfrac{1}{4}A{C^2}\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(CE\) với \(BD\) và \(N\) là giao điểm của \(BE\) với \(AC\).

Chứng minh \(MB.NE.CF = MF.NB.CE\).

Kẻ \(EG//BF\,\,\left( {G \in AC} \right)\) ta có:

\(\dfrac{{NB}}{{NE}} = \dfrac{{MB}}{{EG}}\,\,\left( 1 \right)\) và \(\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{EG}}{{MF}}\,\,\left( 2 \right)\) (định lí Ta-lét).

 Nhân vế theo vế của (1) và (2) ta được

\(\begin{array}{l}\dfrac{{NB}}{{NE}}.\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{MB}}{{EG}}.\dfrac{{EG}}{{MF}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{NB}}{{NE}}.\dfrac{{CE}}{{CF}} = \dfrac{{MB}}{{MF}}\\ \Leftrightarrow MB.NE.CF = MF.NB.CE\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\(

Bài 6 (0,5 điểm)

Cách giải:

Vì khoảng cách từ đỉnh nón đến một điểm trên vành nón chính là độ dài đường sinh của hình nón.

\( \Rightarrow \) Độ dài đường sinh của hình nón là \(l = 30\,\,\left( {cm} \right)\).

Bán kính vành nón là \(R = \dfrac{{40}}{2} = 20\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy diện tích xung quanh của chiếc nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .20.30 = 600\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\).