Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất nguyên hàm: \(\int {\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right)} \,dx = \int {f\left( x \right)} \,dx \pm \int {g\left( x \right)} \,dx\) và công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv}  - uv - \int {vdu} \).

Lời giải chi tiết:

Phát biểu sai là \(\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \,dx = {\left( {\int {f\left( x \right)} \,dx} \right)^2}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {3 - 2x} \right)dx =  - {x^2} + 3x + C} } \).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm: \(\int {\sin nxdx}  =  - \frac{1}{n}\int {\cos nxdx} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\sin 2xdx}  =  - \frac{1}{2}\cos 2x + C.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân và các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để chọn đáp án đúng:

\(\begin{array}{l}\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx}  = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  =  - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \\\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} \end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\) (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

\(\int {\sin xdx =  - \cos x + C} \)  (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án C đúng.

\(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\) (C là hằng số) \( \Rightarrow \) đáp án D đúng.

\( \Rightarrow \)Chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác: \(\int {\sin axdx}  =  - \frac{1}{a}\cos ax + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:\(\int {\sin 3xdx}  =  - \frac{1}{3}\cos 3x + C.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \\F'\left( x \right) = f\left( x \right)\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \ln x\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow F'\left( x \right) = \ln x\,\,\,\forall x\, \in \left( {0; + \infty } \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm:

+)\(\int {{a^x}dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \).

+)\(\int {{x^a}dx = \dfrac{{{x^{a + 1}}}}{{a + 1}}} \,\,\left( {a \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {{2^x} + x} \right)dx = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + C} } \).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác: \(\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\cos \left( {3x - 2} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) + C\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x - 2} \right) - 2\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos \left( {3x - 2} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^a}}  = \frac{{{x^{a + 1}}}}{{a + 1}} + C\), \(\int {{e^x}}  = {e^x} + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + {e^x}} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + } {e^x} + C\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\), \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\), \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\cos xdx}  =  - \sin x + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \\\int {dx = x + C} \\\int {\dfrac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \\\int {\cos xdx = \sin x + C} \end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\); \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 3{x^2} + 8\sin x\\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx = \int {3{x^2}dx + \int {8\sin xdx} } } \\ \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = {x^3} - 8\cos x + C.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản và hàm lượng giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\sin x + \frac{2}{x}} \right)dx}  =  - \cos x + 2\ln \left| x \right| + C.} \)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3} + {x^2} + C\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\sin kxdx}  =  - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\sin 2xdx}  =  - \dfrac{1}{2}\cos 2x + C\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{{{2018}^{x}}\,\text{d}x}=\frac{{{2018}^{x}}}{\ln 2018}+C.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Dựa vào các công thức nguyên hàm cơ bản

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{\frac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\ne \ln x+C.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)\(\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x - {e^x}} \right)dx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} - {e^x} + C.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = {x^2} + 3 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = 4{x^3} \Rightarrow F\left( x \right) = {x^4} + C.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức nguyên hàm của hàm số mũ cơ bản \(\int\limits_{{}}^{{}}{{{a}^{x}}dx}=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I=\int{\left( {{2}^{x}}+{{3}^{x}} \right)\,\text{d}x}=\int{{{2}^{x}}\,\text{d}x}+\int{{{3}^{x}}\,\text{d}x}=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}+C.\) 

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(f\left( x \right)=\left( \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx} \right)'\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right)=\left( \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx} \right)'=12{{x}^{2}}-6x+2\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc, đưa về tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{{{\sin }^{2}}x\,\text{d}x}=\int{\frac{1-\cos 2x}{2}\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{dx-\frac{1}{2}\int{\cos 2xdx}}=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

\(\int{{{x}^{\alpha }}dx=\frac{{{x}^{\alpha +1}}}{\alpha +1}}+C\)

Lời giải chi tiết:

\(\int{f(x)dx}=\int{\left( 2\sqrt{x}+3x \right)dx}=2\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}dx+3\int{xdx}}=2.\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+3.\frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+C\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int{f\left( x \right)dx}=\int{c\text{os}3xdx}=\frac{\sin 3x}{3}+C\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm lượng giác : \(\int{\tan xdx=-\ln \left| \cos x \right|+C.}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\tan 2x\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{\tan 2x\,\text{d}\left( 2x \right)}=-\frac{1}{2}\ln \left| \cos 2x \right|+C.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm số mũ

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)={{25}^{x}}\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{{{25}^{x}}\,\text{d}x}=\frac{{{25}^{x}}}{\ln 25}+C=\frac{{{5}^{2x}}}{2\ln 5}+C.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tìm nguyên hàm bằng các nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\)

\(\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\left( 1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right)\,\text{d}x}=x+\frac{1}{x+1}+C=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}+C\)

Với \(C=0,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án B đúng.

Với \(C=-\,4,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}-4=\frac{{{x}^{2}}-3x-3}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án C đúng.

Với \(C=-\,2,\) ta được \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}-2=\frac{{{x}^{2}}-x-1}{x+1}\,\,\xrightarrow{{}}\) Đáp án D đúng.

Vậy \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}\) không phải nguyên hàm của hàm số đã cho. 

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{}^{} {\left( {{2^x} - \cos x + 1} \right)dx}  = {{{2^x}} \over {\ln 2}} - \sin x + x + C\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề (I) và mệnh đề (IV) sai, còn lại 4 mệnh đề đúng.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{e^{ax + b}}dx = \dfrac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {{e^{ - 2x + 1}}dx =  - \dfrac{1}{2}{e^{ - 2x + 1}} + C} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi lượng giác: \({\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1\).

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {\dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}  = \tan x + C\).

- Sử dụng giả thiết \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\) tìm C.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\tan ^2}x\) nên

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\tan }^2}x} dx\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} \\ \Rightarrow F\left( x \right) = \tan x - x + C\end{array}\)

Mà \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Rightarrow 1 - \dfrac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{\pi }{4} - 1.\)

Vậy \(F\left( x \right) = \tan x - x + \dfrac{\pi }{4} - 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {{a^x}dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {2^x}\ln 4\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) = \ln 4.\int {{2^x}dx}  = \ln 4.\dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C}  = {2.2^x} + C\end{array}\)

Mà \(F\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) = {2.2^x} + 2 \Rightarrow F\left( 1 \right) = 6\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\) \(\left( {n \ne  - 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {8{x^3} + 6x} \right)} dx = 2{x^4} + 3{x^2} + C} \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\), \(\int {\sin kxdx}  =  - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{3^x} + \sin 8x} \right)dx}  = \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \dfrac{1}{8}\cos 8x + C\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {n \ne  - 1} \right)\), \(\int {\sin 3xdx}  =  - \dfrac{1}{k}\cos kx + C\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 6x + \sin 3x\) nên \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right)dx} } \)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + C\)

Mà \(F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3.0 - \dfrac{1}{3} + C = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C = 1\)

Vậy \(F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(f\left( x \right) = \left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)'\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \dfrac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C} \)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = {x^2} + {e^x}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) khi và chỉ khi \(F'\left( x \right) + C = f\left( x \right)\) (C = hằng số).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(F\left( x \right) = {x^2} + \sin x\)\( \Rightarrow F'\left( x \right) = 2x + \cos x\)

Nên \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x + \cos x.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {{e^{5x - 3}}dx}  = \dfrac{1}{5}{e^{5x - 3}} + C.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\dfrac{{dx}}{x}}  = \ln \left| x \right| + C = \ln x + C\,\,\left( {do\,\,x > 0} \right)\).

Dựa vào các đáp án ta thấy:

Đáp án A: \(\dfrac{1}{2}\ln {x^2} = \ln \left| x \right| = \ln x\) là 1 nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = 0\).

Đáp án B: \(\ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = 0\).

Đáp án C: \(\ln 2x = \ln 2 + \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) khi \(C = \ln 2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Ta có: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right).\)

Có \(F'\left( {5x} \right) = \left( {5x} \right)'f\left( {5x} \right) = 5f\left( {5x} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm lượng giác để tìm nguyên hàm của hàm số đã cho rồi chọn nguyên hàm không phải là nguyên hàm của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\sin 2xdx}  =  - \frac{1}{2}\cos 2x + C\) \( \Rightarrow \) đáp án C đúng.

Lại có: \( - \frac{1}{2}\cos 2x + C =  - \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + C\)\( =  - {\cos ^2}x + C'\)\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

\( - \frac{1}{2}\cos 2x + C =  - \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + C\)\( = {\sin ^2}x + C'\) \( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{3^x}dx}  = \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần: \(\int\limits_{}^{} {udv}  = uv - \int\limits_{}^{} {vdu} \).

- Thay \(F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4}\) tính hằng số C, từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(F\left( x \right) = \int {x\ln x} dx\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}.\ln x - \int {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{{dx}}{x}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{1}{2}\int {xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + C\\F\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4} + C = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow C = 1\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x - \dfrac{{{x^2}}}{4} + 1\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm: \(\int {dx}  = x + C\), \(\int {\cos kxdx}  = \dfrac{1}{k}\sin kx + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {{{\cos }^2}xdx} \\ = \int {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int {dx}  + \dfrac{1}{2}\int {\cos 2xdx} \\ = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\sin 2x + C\\ = \dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(I = \int {\dfrac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1}  \Rightarrow {t^2} = {e^x} + 1\) \( \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\).

Khi đó ta có: \(I = \int {\dfrac{{2tdt}}{t} = \int {2dt.} } \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ có bậc tử cao hơn bậc mẫu, ta chia tử cho mẫu sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}dx}  = \int {\frac{{{x^2} + 2x + 1 + 2}}{{x + 1}}dx} \\ = \int {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}dx}  = \int {\left( {x + 1} \right)dx}  + \int {\frac{2}{{x + 1}}dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng  thì \(F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Nếu hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên khoảng  thì \(F\left( x \right) + C = \int {f\left( x \right)dx} \). Suy ra khẳng định A đúng.

Khi đó ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Ta lại có \(\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = f\left( x \right) = F'\left( x \right)\). Suy ra khẳng định B, C đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng : \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}}  = \dfrac{2}{a}\sqrt {ax + b}  + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 - x} }}}  = \dfrac{2}{{ - 1}}\sqrt {1 - x}  + C =  - 2\sqrt {1 - x}  + C\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính vận tốc của vật \(v = \int {a\left( t \right)dt} \).

- Sử dụng giả thiết \(v\left( 0 \right) = 6\) tìm \(C\).

- Tính \(v\left( {10} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt}  = \int {\dfrac{3}{{t + 1}}dt}  = 3\ln \left| {t + 1} \right| + C\).

Theo bài ra ta có: \(v\left( 0 \right) = 6 \Leftrightarrow 6\ln 1 + C = 6 \Leftrightarrow C = 6\). Khi đó \(v = 3\ln \left| {t + 1} \right| + 6\).

Vậy vận tốc của vật sau 10 giây là: \(v\left( {10} \right) = 3\ln 11 + 6\,\,\left( {m/s} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{e^{ax + b}}dx}  = \dfrac{{{e^{ax + b}}}}{a} + C\).

- Thay \(F\left( 0 \right) = 1\) để tìm hằng số \(C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {{e^{2x}}dx}  = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).

Lại có \(F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{e^0}}}{2} + C = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\).

Vây \(F\left( x \right) = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2} + \dfrac{1}{2}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\int {\dfrac{1}{{1 + x}}dx}  = \dfrac{1}{1}\ln \left| {1 + x} \right| + C = \ln \left| {1 + x} \right| + C\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số cơ bản để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\left( {\sin x - 6{x^2}} \right)dx} \) \( =  - \cos x - \dfrac{{6{x^3}}}{3} + C\)\( =  - \cos x - 2{x^3} + C\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đặt \(u = \sqrt x  \Rightarrow {u^2} = x \Rightarrow dx = 2udu\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 4 \Rightarrow u = 2\end{array} \right..\) Từ đó chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^4 {\sin \sqrt x dx} \)

Đặt \(u = \sqrt x  \Rightarrow {u^2} = x \Rightarrow dx = 2udu\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = 4 \Rightarrow u = 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {2u\sin udu} .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^4} + 2020} \right)dx} \) \( = \dfrac{{{x^5}}}{5} + 2020x + C.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản:  \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = } \int {\dfrac{1}{{2x - 1}}dx} \) \( = \dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int {\left( {{x^3} + {3^x}} \right)dx}  = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(\dfrac{{x + 3}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{5}{{x - 2}}\).

- Áp dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,\,\,\int {\dfrac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \).

- Thay \(F\left( 1 \right) = 1\), tính \(C\). Từ đó tính \(F\left( 0 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{{x + 3}}{{x - 2}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {1 + \dfrac{5}{{x - 2}}} \right)dx}  = x + 5\ln \left| {x - 2} \right| + C\end{array}\).

Theo bài ra ta có: \(F\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow 1 + 5\ln 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0\).

Do đó \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + 5\ln \left| {x - 2} \right|\).

Vậy \(F\left( 0 \right) = 5\ln 2\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi \({\sin ^2}x.{\cos ^2}x = \dfrac{1}{4}{\sin ^2}2x\) biến đổi hàm số đã cho.

- Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx}  =  - \dfrac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx}  = \int {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}.4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \\ = \int {\dfrac{4}{{{{\sin }^2}2x}}dx}  = 4.\left( { - \dfrac{1}{2}\cot 2x} \right) + C\\ =  - 2\cot 2x + C\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A : sai do nếu \(\alpha  =  - 1\) thì công thức trở thành : \(\int {\dfrac{1}{x}dx}  = \ln \left| x \right| + C\).

Đáp án B : đúng.

Đáp án C : đúng.

Đáp án D : đúng.

Chọn A.