Phương pháp giải:

Cặp số \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) là nghiệm của phương trình  \(ax + by = c \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = c.\)

Lời giải chi tiết:

Thay cặp số \(\left( {x,y} \right) = \left( {1,4} \right)\) vào đáp án C ta có: \(1 - 2.4 =  - 7\) đúng.

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số hoặc dùng MTCT.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 5\\x - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 6\\2y = 5 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\2y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right..\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x,y} \right) = \left( {3;1} \right).\)

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm là D ≠ 0 hoặc D = D_x = D_y = 0

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&1\\1&{ - m}\end{array}} \right| =  - {m^2} - 1\,\,\,;\,\,\,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1}&1\\{2017}&{ - m}\end{array}} \right| =  - {m^2} - m - 2017\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 1}\\1&{2017}\end{array}} \right| = 2016m - 1\)

Vì \(D = -m^2 – 1 \leq -1\ne 0\) nên hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m

Chọn D

Phương pháp giải:

+ Tính định thức D.

+ Xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&1\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - 1\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi chỉ khi: D ≠ 0 \(\leftrightarrow\) \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\)

Chọn C

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Xét điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm là: \(D = {D_x} = {D_y} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - m}\\m&{ - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 1\,\,;\,\,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - m}\\{m + 1}&{ - 1}\end{array}} \right| = m\left( {m + 1} \right)\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\m&{m + 1}\end{array}} \right| = m + 1\)\(\)

Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Với m = 1 \( \Rightarrow {D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm.

Với m = -1 \( \Rightarrow {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện cho ẩn x ; y

+) Đặt ẩn phụ \(u = \frac{1}{{x - 1}};v = \frac{1}{y}\)

+) Tính các định thức : D, D_u, D_v

+) Xét điều kiện để hệ phương trình với hai ẩn u, v có nghiệm duy nhất là: \(D \ne 0\) rồi tìm 2 nghiệm u và v sau đó tìm 2 nghiệm x và y

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x \ne 1;y \ne 0\)

Đặt \(u = \frac{1}{{x - 1}};v = \frac{1}{y}\). Hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2mu + 2v = 3\\mu + 6v = 4\end{array} \right.\)

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&2\\m&6\end{array}} \right| = 10m\,\,\,;\,\,\,{D_u} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\4&6\end{array}} \right| = 10\,\,\,;\,\,\,{D_v} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&3\\m&4\end{array}} \right| = 5m\)

Với m ≠ 0 hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(u = \frac{{{D_u}}}{D} = \frac{{10}}{{10m}} = \frac{1}{m};v = \frac{{{D_v}}}{D} = \frac{{5m}}{{10m}} = \frac{1}{2}\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} = \frac{1}{m}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = m\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Xét điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm là \(D = 0\) và \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2}x + (m + 4)y = 2\\m(x + y) = 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2}x + (m + 4)y = 2\\mx + (m + 1)y = 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}}&{m + 4}\\m&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^3} - 4m = m\left( {{m^2} - 4} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{m + 4}\\1&{m + 1}\end{array}} \right| = 2(m + 1) - m - 4 = m - 2\)

\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}}&2\\m&1\end{array}} \right| = {m^2} - 2m\)

Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm 2\end{array} \right.\)

+) Với m = 0 \( \Rightarrow {D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

+) Với m = 2 \( \Rightarrow {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có vô số nghiệm

+) Với m = -2 \( \Rightarrow {D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

Vậy với m = 0 hoặc m = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm

Chọn A

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0\(\rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\).

+ Tìm điều kiện để \(x, y \in Z\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m + 1}&1\\{{m^2}}&{ - 1}\end{array}} \right| = - 2m - 1 - {m^2} = - {\left( {m + 1} \right)^2}\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 2}&1\\{{m^2} - 3m}&{ - 1}\end{array}} \right| = - 2m + 2 - {m^2} + 3m = - {m^2} + m + 2 = \left( {m + 1} \right)\left( {2 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m + 1}&{2m - 2}\\{{m^2}}&{{m^2} - 3m}\end{array}} \right| = \left( {2m + 1} \right)\left( {{m^2} - 3m} \right) - {m^2}\left( {2m - 2} \right) = - 3{m^2} - 3m = - 3m\left( {m + 1} \right)\end{array}\)

Nếu \(m \ne -1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất  \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{m - 2}}{{m + 1}} = 1 - \frac{3}{{m + 1}}\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{3m}}{{m + 1}} = 3 - \frac{3}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Để \(x, y \in Z  \Leftrightarrow\) \(\frac{3}{{m + 1}} \in Z\Leftrightarrow m + 1 \in Ư(3) = \)\(\left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

+) Với \(m + 1 = 1 \rightarrow m = 0\) (thoả mãn)

+) Với \(m + 1 = -1 \rightarrow m = -2\) (thoả mãn)

+) Với \(m + 1 = 3 \rightarrow m = 2\) (thoả mãn)

+) Với \(m + 1 = - 3 \rightarrow m = -4\) (thoả mãn)

Vậy có 4 giá trị của m thoả mãn đề bài.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Xét điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm là \(D = 0\) và \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\{1 - m}&1\end{array}} \right| = m - 2m + 2{m^2} = 2{m^2} - m\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 10}&{2m}\\{10}&1\end{array}} \right| =  - 10 - 20m\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 10}\\{1 - m}&{10}\end{array}} \right| = 10m + 10 - 10m = 10\end{array}\)

Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Với m = 0 \( \Rightarrow {D_x} \ne 0\) nên hệ vô nghiệm

Với m = \(\frac{1}{2}\) \( \Rightarrow {D_x} \ne 0\) nên hệ vô nghiệm

Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) thì hệ phương trình vô nghiệm.

Chọn C

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + xy + 2 = 3x + y \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x} \right) + \left( {xy - y} \right) + \left( {2 - 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + y\left( {x - 1} \right) + 2\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x + y = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x=1\) thay vào (2) ta được: \({{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\pm 1\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( 1;-1 \right)\)là nghiệm của hệ.

Với \(x+y=2,\) kết hợp với (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)\)là nghiệm của hệ

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( 1;-1 \right)\),\(\left( 1;1 \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Thế vào phương trình (2)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x.y\ne 0\)

Phương trình (1) \(x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y} \Leftrightarrow x - y - \left( {\frac{1}{x}\frac{1}{y}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - \frac{{y - x}}{{xy}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y}\right)\left( {1 + \frac{1}{{xy}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y = \frac{{ - 1}}{x}\end{array} \right.\)

Với \(x=y\)  thay vào (2) ta được \({x^3} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left({{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1\\x = y = \frac{{ - 1+ \sqrt 5 }}{2}\\x = y = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Với \(y=\frac{-1}{x}\)  thay vào (2) ta được \({{x}^{4}}+x+2=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+2{{\left( x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}+\frac{7}{8}=0\) (vô nghiệm)

Kết luận: Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt \(\left( 1;1 \right),\left( \frac{-1+\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right),\left( \frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với ẩn y, tham số x. Tìm nghiệm y qua tham số x, sau đó thay vào phương trình (1) để tìm nghiệm của hệ.

+) Có thể coi là phương trình bậc hai đối với ẩn x, tham số y và làm tương tự.

Lời giải chi tiết:

Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x. Khi đó:

\(\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow {y^2} - 5y - {x^2} + 3x + 4 = 0\\{\Delta _x} = 25 - 4( - {x^2} + 3x + 4) = 4{x^2} - 12x + 9 = {\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0\end{array}\)

Từ đó, ta được \(y=\frac{5+2x-3}{2}\Rightarrow y=x+1\)hoặc \(y=\frac{5-2x+3}{2}\Rightarrow y=4-x\)

Với  \(y=x+1,\) thay vào (1) ta được \({\left( {x + 1} \right)^2} = (x + 1)(4 - x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x + 1 = 4 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( -1;0 \right)\)hoặc\(\left( x;y \right)=\left( \frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

Với \(y=4-x,\) thay vào (1) ta được \({\left( {4 - x} \right)^2} = (x + 1)(4 - x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - x = 0\\x + 1 = 4 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( 4;0 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( \frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)\)là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm \((x;y)\)là \((-1;0),(4;0),\)\(\left( \frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (2) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (1)

Lời giải chi tiết:

Phương trình (2)\(\Leftrightarrow xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-2xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\Leftrightarrow xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2 \right)={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2\)

\( \Leftrightarrow \left( {xy - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 1\\{x^2} + {y^2} = 2\end{array} \right.\)

Với \(xy=1\Leftrightarrow y=\frac{1}{x},\)thay vào (1) ta được: \({{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -1;-1 \right)\)là nghiệm của hệ.

Với \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2,\)từ (1) có

\(\begin{array}{l}3y\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 4x{y^2} + 2{x^2}y - 2\left( {x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6y - 4x{y^2} + 2{x^2}y - 2\left( {x + y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {xy - 1} \right)\left( {x - 2y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 1\\x = 2y\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(xy=1\) có \(\left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -1;-1 \right)\)là nghiệm

Với \(x=2y,\) thay vào \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2,\) ta được \(5{{y}^{2}}=2\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\).

Suy ra  nghiệm của hệ phương trình là  \(\left( x;y \right)=\left( \frac{2\sqrt{10}}{5};\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -\frac{2\sqrt{10}}{5};-\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( -1;-1 \right)\),\(\left( 1;1 \right)\), \(\left( \frac{2\sqrt{10}}{5};\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\),\(\left( -\frac{2\sqrt{10}}{5};-\frac{\sqrt{10}}{5} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện cho phương trình (1) có nghĩa.

+) Bình phương hai vế của phương trình (1), biến đổi tương đương (1) đưa về phương trình tích.

+) Thế vào phương trình (2)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(xy>0\)

 Hệ phương trình tương đương với   

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x}}{y} + \frac{{2y}}{x} = 5\\x - y + xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} - 5xy = 0\\x - y + xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2{x^2} - xy} \right) + \left( {2{y^2} - 4xy} \right) = 0\\x - y + xy = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {2x - y} \right) + 2y\left( {y - 2x} \right) = 0\\x - y + xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2y} \right)\left( {2x - y} \right) = 0\\x - y + xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 2y\\2x = y\end{array} \right.\\x - y + xy = 3\end{array} \right.\end{array}\)

  Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\x - y + xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\y + 2{y^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 3}}{2}\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

  Với \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x\\x - y + xy = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x\\ - x + 2{x^2} - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là \(\left( 2;1 \right),\,\left( -3;\frac{-3}{2} \right)\), \(\left( -1;-2 \right),\,\,\left( \frac{3}{2};3 \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Biến đổi  phương trình (1), đưa về phương trình dạng \({{A}^{2}}={{B}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:    

 \(\begin{array}{l}{x^2} + 5x + 6 = {y^2} + y \Leftrightarrow 4{x^2} + 20x + 25 = 4{y^2} + 4y + 1 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = {\left( {2y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = 2y + 1\\2x + 5 =  - 2y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2y =  - 4\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y =  - 2\\x + y =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y - 2\\x =  - y - 3\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x=y-2\)thay vào phương trình \(\sqrt{x-2}+\sqrt{3x+2y+2}=4\)ta có \(\sqrt{y-4}+\sqrt{5y-4}=4\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện \(y\ge 4\)

Bình phương hai vế của (*) ta có

\((*)\Leftrightarrow 6y-8+2\sqrt{\left( y-4 \right)\left( 5y-4 \right)}=16\Leftrightarrow 2\sqrt{\left( y-4 \right)\left( 5y-4 \right)}=24-6y\Leftrightarrow \sqrt{\left( y-4 \right)\left( 5y-4 \right)}=12-3y\)

Từ phương trình ta có \(12-3y\ge 0\Leftrightarrow y\le 4\)

Kết hợp điều kiện \(y\ge 4\)suy ra \(y=4\). Ta thấy \(y=4\)thỏa mãn phương trình.

Vậy\)(x;y)=(2;4)\)là nghiệm của hệ phương trình.

+) Với \(x=-y-3\) thay vào phương trình \(\sqrt{x-2}+\sqrt{3x+2y+2}=4\)ta có \(\sqrt{-y-5}+\sqrt{-y-7}=4\,\,\,\left( ** \right)\)

Điều kiện \(y\le -7\)

Bình phương hai vế của (*) ta có

\(\begin{array}{l}(*) \Leftrightarrow  - 2y - 12 + 2\sqrt {\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right)}  = 16\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right)}  = 28 + 2y\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right)}  = 14 + y\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\\left( {y + 5} \right)\left( {y + 7} \right) = {\left( {14 + y} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\{y^2} + 12y + 35 = {y^2} + 28y + 196\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\ - 16y = 161\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 14\\y =  - \frac{{161}}{{16}}\end{array} \right. \Leftrightarrow y =  - \frac{{161}}{{16}}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy\(\left( x;y \right)=\left( \frac{113}{16};\frac{-161}{16} \right)\)là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là \(\left( 2;4 \right),\,\,\left( \frac{113}{16};\frac{-161}{16} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = \left| {1 + \left| x \right|} \right|\,\\v = \left| {1 - \left| y \right|} \right|\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = \left| {1 + \left| x \right|} \right|\,\\v = \left| {1 - \left| y \right|} \right|\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2u - v = 5\\u\, + 4v = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 1\end{array} \right.\)

Suy ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {1 + \left| x \right|} \right|\, = 3\\\left| {1 - \left| y \right|} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + \left| x \right|\, = 3\\1 - \left| y \right| = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 + \left| x \right|\, = 3\\1 - \left| y \right| =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right|\, = 2\\\left| y \right| = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right|\, = 2\\\left| y \right| = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\, =  \pm 2\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\, =  \pm 2\\y =  \pm 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm là: \(\left( {2;0} \right),\left( { - 2;0} \right),\left( {2;2} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( { - 2;2} \right),\left( { - 2; - 2} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương hệ phương trình và đặt ẩn phụ. 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right) = 10\,\\{x^2} + y = 7\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} - x} \right)\left( {x + y} \right) = 10\,\\\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {x + y} \right) = 7\,\end{array} \right.\)

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - x\\v = x + y\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}uv = 10\\u\, + v = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 5\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = 2\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\, =  - 1\\y = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\, = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 5\\v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = 5\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\, = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\\y = \frac{{3 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\, = \frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\y = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là: \(\left( { - 1;6} \right),\left( {2;3} \right),\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\frac{{3 - \sqrt {21} }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ. 

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hệ phương trình là \(y \ne 0\)

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + y\\v = \frac{x}{y}\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 5\\u\,v = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\\frac{x}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\, + y = 2\\x = 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\, + y = 2\\x - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\\frac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\, + y = 3\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\, + y = 3\\x - 2y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: \(\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right),\left( {2;1} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ. 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2x\,\\{\left( {x - 1} \right)^3} + {y^3} = 1\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 1\,\\{\left( {x - 1} \right)^3} + {y^3} = 1\,\end{array} \right.\)

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\v = y\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u^2} + {v^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{u^3} + {v^3} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Nếu \(u < 0\) thì ta có \({v^3} > {u^3} + {v^3} = 1 \Rightarrow v > 1 \Rightarrow {v^2} > 1\). Suy ra (1) vô nghiệm hay hệ vô nghiệm. Suy ra \(u \ge 0\)

Tương tự nếu \(v < 0\)  thì hệ vô nghiệm. Suy ra \(v \ge 0\)

Từ (1) có \(\left\{ \begin{array}{l}{u^2} \le 1\\{v^2} \le 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le u \le 1\\ - 1 \le v \le 1\end{array} \right.\)

Kết hợp các điều kiện ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le u \le 1\\0 \le v \le 1\end{array} \right.\)

Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có:

\({u^3} - {u^2} + {v^3} - {v^2} = 0 \Leftrightarrow {u^2}\left( {u - 1} \right) + {v^2}\left( {v - 1} \right) = 0\)

Ta có: \(u - 1 \le 0;v - 1 \le 0 \Leftrightarrow {u^2}\left( {u - 1} \right) + {v^2}\left( {v - 1} \right) \le 0\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2}\left( {u - 1} \right) = 0\\{v^2}\left( {v - 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}v = 0\\v = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Thử nghiệm ta có \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\) là nghiệm của hệ.

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 0\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: \(\left( {1;1} \right),\left( {2;0} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ. 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right) = 6\,\\{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 3 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right) = 6\,\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\,\end{array} \right.\)

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\v = y - 1\end{array} \right.\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}uv\left( {u + v} \right) = 6\,\\{u^2} + {v^2} = 5\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}uv\left( {u + v} \right) = 6\,\\{\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 5\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}uv\left( {u + v} \right) = 6\,\\{\left( {u + v} \right)^3} - 2uv\left( {u + v} \right) = 5\left( {u + v} \right)\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}uv\left( {u + v} \right) = 6\,\\{\left( {u + v} \right)^3} - 5\left( {u + v} \right) - 12 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\u\,v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: \(\left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình dạng tham số \(\left\{ \matrix{  x = {x_0} + at \hfill \cr   y = {y_0} + bt \hfill \cr}  \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\left( d \right)\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;4} \right)\) là 1 VTCP.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\x - 3y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4y - 4 = 0\\x = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {2;1} \right)\).

Chọn đáp án D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\2x - \left( {m - 1} \right)y = 3\end{array} \right.\) là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn khi \(m \in R\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Thay trực tiếp bộ số \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2; - 1;1} \right)\) vào từng hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

Thay \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2; - 1;1} \right)\) vào đáp án A ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 3 - 2 =  - 3\\4 + 1 + 1 = 6\\10 + 2 - 3 = 9\end{array} \right.\) (đúng)

Do đó \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {2; - 1;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2z =  - 3\\2x - y + z = 6\\5x - 2y - 3z = 9\end{array} \right.\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay trực tiếp bộ số\(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;0;1} \right)\) vào từng hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

Thay \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;0;1} \right)\) vào đáp án C ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 0 - 1 = 1\\1 + 0 + 1 = 2\\ - 1 + 0 - 1 =  - 2\end{array} \right.\) (đúng)

Do đó \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1;0;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 1\\x + y + z = 2\\ - x + y - z =  - 2\end{array} \right.\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\xy = P\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = S - x\\x\left( {S - x} \right) = P\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = S - x\\{x^2} - Sx + P = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \)  phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = {S^2} - 4P \ge 0\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 7x + 3y =  - 5\\5x - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 14x + 6y =  - 10\\15x - 6y = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\5x - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right..\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải hệ sau đó thay giá trị của nghiệm vào biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 4\\2x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right..\) \(S = {x_0} + {y_0} = 1 + 1 = 2.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính bỏ túi, chứ năng \(MODE\) 5, 2.

Lời giải chi tiết:

Nhập hệ vào máy tính ta được nghiệm \(\left( {1; - 1;1} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải các hệ phương trình ở các đáp án, chọn đáp án có hệ phương trình có nghiệm duy nhất là đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 3\end{array} \right..\) 

Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn  

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.\) có vô số nghiệm khi và chỉ khi  \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = m + 1\\x + my = 2\end{array} \right.\) có vô số nghiệm khi và chỉ khi:

\(\frac{m}{1} = \frac{1}{m} = \frac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{m}{1} = \frac{1}{m}\\\frac{m}{1} = \frac{{m + 1}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\2m = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Cặp số \(\left( {a,b,c} \right)\) là nghiệm của hệ 3 phương trình 3 ẩn khi cặp số đó thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ.

Lời giải chi tiết:

Đáp án B sai vì \(\left( {1,1, - 1} \right)\) có \(z =  - 1\) không thỏa mãn hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y + z = 0\\x - y + 3z = - 1\\z = 0\end{array} \right.\)

Đáp án C sai vì \(\left( {1,1, - 1} \right)\) có x = 1 không thỏa mãn phương trình x = 3.

Đáp án D sai vì \(\left( {1,1, - 1} \right)\) có \(z =  - 1\) không thỏa mãn hệ phương trình  

\(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 3\\x + 2y = 7\end{array} \right.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số hoặc sử dụng MTCT.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = - 2\\ - 3x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = - 2\\ - 9x + 3y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 7x = 7\\y = 3x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( { - 1;0} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình:

Từ đó thấy được kết luận nào là đúng, kết luận nào là sai

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{m - 5}\\2&{m - 1}\end{array}} \right| = 3\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 5} \right) = m + 7\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}6&{m - 5}\\4&{m - 1}\end{array}} \right| = 6(m - 1) - 4(m - 5) = 2m + 14\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&6\\2&4\end{array}} \right| = 0\end{array}\)

+) Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow m + 7 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 7\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{2m + 14}}{{m + 7}} = 2\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = 0\end{array} \right.\)

+) Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow m =  - 7 \Rightarrow {D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm

Do đó: kết luận A, C, D đúng; B sai

Chọn B

Phương pháp giải:

+ Xét hệ gồm 2 phương trình đầu, tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0\(\rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\)

+ Thay giá trị của x, y vào phương trình thứ 3 ta tìm được \(m\)

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx - \left( {m + 1} \right)y = 3m\\x - 2my = m + 2\end{array} \right.\)

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - \left( {m + 1} \right)}\\1&{ - 2m}\end{array}} \right| =  - 2{m^2} + m + 1 = \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)\)

\(\begin{array}{l}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3m}&{ - \left( {m + 1} \right)}\\{m + 2}&{ - 2m}\end{array}} \right| =  - 6{m^2} + \left( {m + 2} \right)\left( {m + 1} \right) =  - 5{m^2} + 3m + 2 = \left( {5m + 2} \right)\left( {1 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3m}\\1&{m + 2}\end{array}} \right| = {m^2} + 2m - 3m = {m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne  - \frac{1}{2}\\m \ne 1\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{\left( {5m + 2} \right)\left( {1 - m} \right)}}{{\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)}} = \frac{{5m + 2}}{{2m + 1}}\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{m\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)}} = \frac{{ - m}}{{2m + 1}}\end{array} \right.\)

Thay giá trị của x, y vào phương trình: \(x + 2y = 4\) ta được:

\(\frac{{5m + 2}}{{2m + 1}} - \frac{{2m}}{{2m + 1}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{3m + 2}}{{2m + 1}} = 4 \Leftrightarrow 3m + 2 = 8m + 4 \Leftrightarrow m =  - \frac{2}{5}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Xét điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm là \(D = 0\) và \({D_x} \ne 0\) hoặc \({D_y} \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&1\\6&b\end{array}} \right| = ab - 6\,\,\,;\,\,\,{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\4&b\end{array}} \right| = 2b - 4\,\,\,;\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&2\\6&4\end{array}} \right| = 4a - 12\)

Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}D = 0\\\left[ \begin{array}{l}{D_x} \ne 0\\{D_y} \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 6\\\left[ \begin{array}{l}b \ne 2\\a \ne 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vì \(6 = 1.6 = 6.1 = ( - 1).( - 6) = ( - 6).( - 1) = 2.3 = 3.2 = ( - 2).( - 3) = ( - 3).( - 2)\)

\(\Leftrightarrow\) Có 7 cặp (a, b) thoả mãn đề bài.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình (1) có thể phân tích được thành phương trình tích: \((1)\Leftrightarrow (x+y)(x-3y-1)=0\)

Từ đó thay vào hệ phương trình, biến đổi và tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ge 1;\ y\ge 0\)

Từ (1) ta có                   

 \(\left( {{x^2} - 2xy - 3{y^2}} \right) - \left( {x + y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x - 3y} \right) - \left( {x + y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x - 3y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 3y - 1 = 0\end{array} \right.\)

Với điều kiện: \(x\ge 1;\ y\ge 0\) suy ra \(x+y>0\), do đó \(x+y=0\) (vô lý)

Với \(x=3y+1\)thay vào phương trình \(x\sqrt{3y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( {3y + 1} \right)\sqrt {3y}  - y\sqrt {3y}  = 2\left( {3y + 1} \right) - 2y \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right)\sqrt {3y}  = 4y + 2\\ \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right)\sqrt {3y}  - 2\left( {2y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2y + 1} \right)\left( {\sqrt {3y}  - 2} \right) = 0\end{array}\)

 Vì \(y\ge 0\) nên từ phương trình ta có  \(\sqrt{3y}-2=0\Leftrightarrow 3y=4\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}\Rightarrow x=5\)                               

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y)=\left( 5;\frac{4}{3} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0 \(\rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\). Điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm là \(D = {D_x} = {D_y} = 0\)

+ Tìm điều kiện để \(x, y \in Z\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\{m - 1}&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2m + 2 = {m^2} - 3m + 2 = \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\1&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2 = \left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&m\\{m - 1}&1\end{array}} \right| =  - {m^2} + 2m =  - m\left( {m - 2} \right)\end{array}\)

Nếu\(D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{m + 1}}{{m - 1}} = 1 + \frac{2}{{m - 1}}\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{ - m}}{{m - 1}} =  - 1 - \frac{1}{{m - 1}}\end{array} \right.\)

Để \(x, y \in Z  \rightarrow\) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{m - 1}} \in Z\\\frac{1}{{m - 1}} \in Z\end{array} \right.\) \(\rightarrow m -1 \rightarrow Ư(1) =\) \(\left\{ { \pm 1} \right\}\)

+) Với \(m – 1 = 1 \Leftrightarrow m = 2\) (loại)

+) Với \(m – 1 = -1 \Leftrightarrow m = 0\) (thoả mãn)

Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

+) Với \(m = 1\rightarrow D_x \in  0 \rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm 

+) Với m = 2 \(\rightarrow D = {D_x} = {D_y} = 0\rightarrow \) hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 2\\x + y = 1\end{array} \right.\) , khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Vậy m = 0 hoặc m = 2 thoả mãn bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ge y\ge 0\)

Bình phương hai vế phương trình (1) ta được:

\(2x + 2\sqrt {{x^2} - {y^2}}  = 4y \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - {y^2}}  = 2y - x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y \ge x\\5{y^2} - 4xy = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y \ge x\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = \frac{4}{5}x\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Với \(y = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt x  = 0\\\sqrt x  = 3\end{array} \right. \Rightarrow \) Hệ phương trình vô nghiệm.

Với \(y=\frac{4}{5}x\), thay vào (2) ta được \(3\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=\frac{4}{5}\)

Có \(\left( x;y \right)=\left( 1;\frac{4}{5} \right)\) thỏa mãn phương trình (1).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( x;y \right)=\left( 1;\frac{4}{5} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (2) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (1)

Lời giải chi tiết:

ĐK : \(x\ge \left| y \right|\)

Từ phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y}  = \sqrt {{x^2} - {y^2}}  + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y}  - \sqrt {{x^2} - {y^2}}  + \sqrt {x - y}  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y} \left( {1 - \sqrt {x - y} } \right) + \sqrt {x - y}  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt {x - y} } \right)\left( {\sqrt {x + y}  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x-y=1\Leftrightarrow x=y+1\) thay vào  phương trình (1) ta có

\({\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y = 0 \Leftrightarrow 2y\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\,\,\)

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là \((1;0),(0;-1)\)

+) Với \(x+y=1\Leftrightarrow x=-y+1\) thay vào  phương trình (1) ta có

\({\left( { - y + 1} \right)^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow 2y\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là (1; 0)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( x;y \right)\)duy nhất là \(\left( 1;0 \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0Þ\(x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\)

+ Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&1\\1&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 2m + 1 - 1 = {m^2} - 2m = m\left( {m - 2} \right)\)\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3m - 4}&1\\m&{m - 1}\end{array}} \right| = \left( {3m - 4} \right)\left( {m - 1} \right) - m = 3{m^2} - 8m + 4 = \left( {m - 2} \right)\left( {3m - 2} \right)\)\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1}&{3m - 4}\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - m - 3m + 4 = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow m(m - 2) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{3m - 2}}{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{m - 2}}{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow xm = 3m - 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{{3 - x}}\)

Thay vào (2) ta được: \(y = 1 - \frac{2}{m} = 1 - \left( {3 - x} \right) = x - 2\)

Vậy y = x – 2

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Lời giải chi tiết:

\(DK:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 0\\4x + y \ge 0\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}x\left( {3x - 7y + 1} \right) =  - 2y\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 7xy + x + 2{y^2} - 2y = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right) + \left( {3{x^2} - 6xy} \right) - \left( {xy - 2{y^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right) + 3x\left( {x - 2y} \right) - y\left( {x - 2y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {1 + 3x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2y\\y = 1 + 3x\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x=2y\)  kết hợp với  phương trình (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\\sqrt {4y}  + \sqrt {9y}  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\2\sqrt y  + 3\sqrt y  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\\5\sqrt y  = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( 2;1 \right)\)

+) Với \(y=1+3x\)  kết hợp với  phương trình (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1 + 3x\\\sqrt {7x + 2}  + \sqrt {7x + 1}  = 5\end{array} \right.\)

Giải phương trình

 \(\begin{array}{l}\sqrt {7x + 2}  + \sqrt {7x + 1}  = 5\\ \Leftrightarrow 14x + 3 + 2\sqrt {\left( {7x + 2} \right)\left( {7x + 1} \right)}  = 25\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {7x + 2} \right)\left( {7x + 1} \right)}  = 22 - 14x\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {7x + 2} \right)\left( {7x + 1} \right)}  = 11 - 7x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{11}}{7}\\\left( {7x + 2} \right)\left( {7x + 1} \right) = {\left( {11 - 7x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{11}}{7}\\49{x^2} + 21x + 2 = 49{x^2} - 154x + 121\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{11}}{7}\\175x = 119\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{{11}}{7}\\x = \frac{{17}}{{25}}\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{17}}{{25}} \Rightarrow y = \frac{{76}}{{25}}\end{array}\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( \frac{17}{25};\frac{76}{25} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( 2;1 \right)\),\(\left( \frac{17}{25};\frac{76}{25} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (2) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (1)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(x\ge \left| y \right|\)

Từ phương trình (2) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + 2\sqrt {x - y}  = 2\sqrt {{x^2} - {y^2}}  + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + y}  - 2\sqrt {{x^2} - {y^2}}  + 2\sqrt {x - y}  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + y} \left( {1 - 2\sqrt {x - y} } \right) + 2\sqrt {x - y}  - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - 2\sqrt {x - y} } \right)\left( {\sqrt {x + y}  - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - y}  = \frac{1}{2}\\\sqrt {x + y}  = 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(\sqrt{x-y}=\frac{1}{2}\)  kết hợp với  phương trình (1) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y}  = 1\\\sqrt {x - y}  = \frac{1}{2}\quad \quad \;\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  = \frac{1}{2}\\\sqrt {x - y}  = \frac{1}{2}\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{1}{4}\\x - y = \frac{1}{4}\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\y = 0\;\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( \frac{1}{4};0 \right)\)

+) Với \(\sqrt{x+y}=1\)  kết hợp với  phương trình (1) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  + \sqrt {x - y}  = 1\\\sqrt {x + y}  = 1\quad \quad \;\;\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + y}  = 1\\\sqrt {x - y}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\;\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( \frac{1}{4};0 \right)\),\(\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương hệ phương trình và đặt ẩn phụ. 

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y - 2xy =  - 1\\{x^2}y - 2x{y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2y} \right) + \left( { - 2xy} \right) =  - 1\\xy\left( {x - 2y} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2y} \right) + \left( { - 2xy} \right) =  - 1\\ - 2xy\left( {x - 2y} \right) =  - 2\end{array} \right.\)

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 2y\\v =  - 2xy\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v =  - 1\\u\,v =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u =  - 2\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}u =  - 2\\v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y =  - 2\\ - 2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\, =  - 1\\ - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\, =  - 1\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\- 2xy =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\, = 2\\ - 2y =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\, =  - 1\\- 2y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x\, = 2\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x\, =  - 1\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là: \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\left( {2;\frac{1}{2}} \right),\left( { - 1; - 1} \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} + x - xy - 2{y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2xy} \right) + \left( {x - 2y} \right) + \left( {xy - 2{y^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2y} \right) + \left( {x - 2y} \right) + y\left( {x - 2y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {x + y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2y\\x + y =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x=2y\) kết hợp với (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2y\quad \\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\quad \\5{y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y\quad \\y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{\sqrt 5 }};y = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\x =  - \frac{2}{{\sqrt 5 }};y =  - \frac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( \frac{2}{\sqrt{5}};\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -\frac{2}{\sqrt{5}};-\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\)là nghiệm của hệ.

+) Với \(x+y=-1,\) kết hợp với (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\xy = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y =  - 1\\y = 0;x =  - 1\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( x;y \right)=\left( 0;-1 \right)\)hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -1;0 \right)\) là nghiệm của hệ

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm \(\left( x;y \right)\) là \(\left( \frac{2}{\sqrt{5}};\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\), \(\left( -\frac{2}{\sqrt{5}};-\frac{1}{\sqrt{5}} \right)\),\(\left( 0;-1 \right)\),\(\left( -1;0 \right)\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ. 

Lời giải chi tiết:

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + y\\v = 2x - y \ne 0\end{array} \right.\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u^2} - 5uv + 6{v^2} = 0\,\\u + \frac{1}{v} = 3\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {u - 2v} \right)\left( {u - 3v} \right) = 0\,\\u + \frac{1}{v} = 3\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2v\,\\u + \frac{1}{v} = 3\,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 3v\,\\u + \frac{1}{v} = 3\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2v\,\\2v + \frac{1}{v} = 3\,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 3v\,\\3v + \frac{1}{v} = 3\,\end{array} \right.\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2v\,\\2{v^2} - 3v + 1 = 0\,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 3v\,\\3{v^2} - 3v + 1 = 0\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\,\\v = 1\,\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = \,1\\v = \frac{1}{2}\,\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 2\\2x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{4}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\2x - y = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{8}\\y = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: \(\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{2}} \right),\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{4}} \right)\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Phân tích để xuất hiện ẩn phụ: \(u = x + y + \frac{1}{{x + y}},\;v = x - y\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x + y \ne 0\). Khi đó ta có:

    Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{(x + y)^2} + \frac{3}{{{{(x + y)}^2}}} + {(x - y)^2} = 7\\x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{\left[ {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right]^2} + {(x - y)^2} = 13\\x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 3\end{array} \right.\)

Đặt \(u = x + y + \frac{1}{{x + y}},\;(\left| u \right| \ge 2)\), \(v = x - y\)

Hệ phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {v^2} = 13\\u + v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {v^2} = 13\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u^2} + {\left( {3 - u} \right)^2} = 13\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u^2} - 6u - 4 = 0\\v = 3 - u\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}u = 2\\u =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\v = 3 - u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\end{array}\)

(Vì \(\left| u \right| \ge 2\))

Từ đó, có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (1;0)\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ. 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1}  - \sqrt {x + y}  = 1\,\\3x + 2y - 4 = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1}  - \sqrt {x + y}  = 1\,\\\left( {2x + y + 1} \right) + \left( {x + y} \right) = 5\,\end{array} \right.\)

Đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {2x + y + 1}  \ge 0\\v = \sqrt {x + y} \,\, \ge 0\end{array} \right.\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u - v = 1\\{u^2} + \,{v^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\{u^2} + \,{v^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\{\left( {1 + v} \right)^2} + \,{v^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\2{v^2} + 2v - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1 + v\\v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\end{array}\)

(vì \(v \ge 0\))

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x + y + 1}  = 2\\\sqrt {x + y} \, = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 4\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x\, + y = 3\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có  nghiệm duy nhất là: \(\left( {2; - 1} \right)\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0Þ\(x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\)

+ Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y

Lời giải chi tiết:

Hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y + m - 3 = 0\\2x + (m + 1)y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{\rm{x}} + (3m - 2)y = 3 - m\\2x + (m + 1)y = 4\end{array} \right.\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3m - 2}\\2&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - 5m + 4 = \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - m}&{3m - 2}\\4&{m + 1}\end{array}} \right| = \left( {3 - m} \right)\left( {m + 1} \right) - 4\left( {3m - 2} \right) =  - m + 11 = \left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{3 - m}\\2&4\end{array}} \right| = 4m - 6 + 2m = 6m - 6 = 6\left( {m - 1} \right)\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow D \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{\left( {1 - m} \right)\left( {m + 11} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \frac{{m + 11}}{{4 - m}}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{6\left( {m - 1} \right)}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right)}} = \frac{6}{{m - 4}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)y = 6 \Leftrightarrow my = 6 + 4y \Leftrightarrow m = \frac{{6 + 4y}}{y} = \frac{6}{y} + 4\)

Thay vào (1) ta được: \(x = \left( {\frac{6}{y} + 4 + 11} \right):\left( {4 - \frac{6}{y} - 4} \right) =  - \frac{{6 + 15y}}{6} =  - 1 - \frac{{15}}{6}y\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt \(a = \sqrt {3x + y} ,b = \sqrt {8x + 2y} \). Điều kiện: \(a \ge 0,b \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(a = \sqrt {3x + y} ,b = \sqrt {8x + 2y} \). Điều kiện: \(a \ge 0,b \ge 0\).

Khi đó: \(x - y = 2{b^2} - 5{a^2}\)

Hệ phương trình trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}a - b =  - 1\\a + 2{b^2} - 5{a^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + 1\\3{a^2} - 5a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\;\quad \left( {Do\;a,b \ge 0} \right)\)

Với \(a = 2,b = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 4\\8x + 2y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ rồi đưa về phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\y \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2 - x}  = a \ge 0\\\sqrt {2y - 1}  = b \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - {a^2}\\2y = 1 + {b^2}\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1)  ta có:

\(\begin{array}{l}(1 + {a^2}).a - (1 + {b^2})b = 0 \Leftrightarrow a + {a^3} - b - {b^3} = 0 \Leftrightarrow a - b + (a - b)({a^2} + ab + {b^2}) = 0\\\Leftrightarrow (a - b)({a^2} + ab + {b^2} + 1) = 0 \Rightarrow a = b\end{array}\)

Thay vào (2) ta được

\(2a - {a^3} =  - 4 \Leftrightarrow (a - 2)({a^2} + 2a + 2) = 0 \Rightarrow a = b = 2\)

Với \(a = b = 2\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2 - x}  = 2\\\sqrt {2y - 1}  = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x = 4\\2y - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

Suy ra hệ có nghiệm \(\left( { - 2;\frac{5}{2}} \right)\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(u = {x^2} + y,v = xy\)

Lời giải chi tiết:

 Hệ (I)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y + xy + xy\left( {{x^2} + y} \right) = 1\\{\left( {{x^2} + y} \right)^2} + xy = 1\end{array} \right.\)   (II)

Đặt \(u = {x^2} + y,v = xy\), hệ (II) trở thành:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u + v + uv = 1\\{u^2} + v = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - {u^2}\\u + 1 - {u^2} + u\left( {1 - {u^2}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - {u^2}\\ - {u^3} - {u^2} + 2u + 1 = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = 1 - {u^2}\\ - {u^3} - {u^2} + 2u = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 0\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u =  - 2\\v = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Bấm máy giải phương trình \({x^3} + 2x + 5 = 0\)thấy có duy nhất 1 nghiệm vô tỷ. Suy ra hệ (*) có nghiệm duy nhất.

Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm \((x;y)\)

Chọn C                                           

Phương pháp giải:

y = 0 không thoả mãn (1). Chia cả 2 vế của hai phương trình cho \(y \ne 0\), sau đó đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

Do \(y = 0\) không thoả mãn hệ nên ta có

Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{y} + \left( {y + x} \right) = 4\,\\\frac{{{x^2} + 1}}{y}.\left( {y + x - 2} \right) = 1\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{y} + \left( {y + x - 2} \right) = 2\,\\\frac{{{x^2} + 1}}{y}.\left( {y + x - 2} \right) = 1\,\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{{{x^2} + 1}}{y}\\v = y + x - 2\,\,\end{array} \right.\) , hệ phương trình trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\,\\u.v = 1\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 1}}{y} = 1\\y + x - 2 = 1\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\y + x = 3\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\{x^2} + 1 + x = 3\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\{x^2} + x - 2 = 0\,\,\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} + 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 5\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có 2 nghiệm\((x;y)\) là \((1;2)\) và \(( - 2;5)\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số hoặc có thể sử dụng MTCT.

Lời giải chi tiết:

Sử dụng MTCT để giải hệ phương trình ta được: 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {2,3} \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phân tích để xuất hiện ẩn phụ: \(u = x - y + \frac{1}{{x - y}},\;v = x + y\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x - y \ne 0\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2xy + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 13\\2x + \frac{1}{{x - y}} = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 5\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 13\\x - y + x + y + \frac{1}{{x - y}} = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y} \right)^2} + \frac{4}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \right] + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y + \frac{1}{{x - y}}} \right)^2} - 8 + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 13\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - y + \frac{1}{{x - y}}} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 21\\x - y + \frac{1}{{x - y}} + x + y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(u = x - y + \frac{1}{{x - y}},\;(\left| u \right| \ge 2)\), \(v = x + y\)

Hệ phương trình trở thành

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4{u^2} + 5{v^2} = 21\\u + v = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u^2} + 5{v^2} = 21\\u = 3 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {3 - v} \right)^2} + 5{v^2} = 21\\u = 3 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{v^2} - 24v + 15 = 0\\u = 3 - v\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}v = 1\\v = \frac{5}{3}\end{array} \right.\\u = 3 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}v = 1\\u = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}v = \frac{5}{3}\\u = \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Có u=2, v=1 (Do \(\left| u \right| \ge 2\))

Từ đó, có \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + \frac{1}{{x - y}} = 2\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x;y) = (1;0)\).

Chọn A

Phương pháp giải:

\(y = 0\)  không thoả mãn hệ phương trình. Chia cả 2 vế của hai phương trình cho \(y \ne 0\), sau đó đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

Với \(y = 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x = 0\end{array} \right.\) (vô nghiệm)

Với \(y \ne 0\) chia cả 2 vế của hai phương trình cho \(y \ne 0\) ta được:

Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{x}{y} - \frac{1}{y} = 3\\\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{x}{{{y^2}}} = 2\end{array} \right.\quad  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - \frac{1}{y}} \right) + \frac{x}{y} = 3\\\frac{x}{y}\left( {x - \frac{1}{y}} \right) = 2\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - \frac{1}{y}\\v = \frac{x}{y}\end{array} \right.\), hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\uv = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{y} = 2\\\frac{x}{y} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 1 = 2y\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y - 1 = 0\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 1 - \sqrt 2 \\x = y = 1 + \sqrt 2\end{array} \right.\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{y} = 1\\\frac{x}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 1 = y\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{y^2} - y - 1 = 0\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{1}{2}\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có 4 nghiệm\((x;y)\) là \((2;1),\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right),\left( {1 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right),\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right)\)

Chọn D

Phương pháp giải:

x = 0 không thoả mãn (1). Chia cả 2 vế của hai phương trình cho \(x \ne 0\), sau đó đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết:

Do x = 0 không thoả mãn hệ nên ta có

Hệ (I) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + {y^2}}}{x} + \left( {x - 2y} \right) = 5\,\\\frac{{1 + {y^2}}}{x}\left( {x - 2y - 2} \right) = 2\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + {y^2}}}{x} + \left( {x - 2y - 2} \right) = 3\,\\\frac{{1 + {y^2}}}{x}\left( {x - 2y - 2} \right) = 2\,\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{{1 + {y^2}}}{x}\\v = x - 2y - 2\end{array} \right.\) , hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\,\\u.v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = 2x\\x - 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = 2x\\2x - 4y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = 2x\\1 + {y^2} - 4y - 6 = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = 2x\\{y^2} - 4y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = 2x\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 5\\x = 13\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = x\\x - 2y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = x\\1 + {y^2} - 2y - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = x\\{y^2} - 2y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {y^2} = x\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Hệ phương trình có 4 nghiệm\((x;y)\) là \((1; - 1),\left( {(13;5} \right),\left( {2; - 1} \right)\) và \((10;3)\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Hệ phương trình trên vô nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{1}{m} = \frac{2}{{ - 4}} \ne \frac{5}{2} \Leftrightarrow m =  - 2 \in \left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x + \sqrt 2 y =  - 1\\2\sqrt 2 x + \sqrt 3 y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + \sqrt 6 y =  - \sqrt 3 \\4x + \sqrt 6 y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\4x + \sqrt 6 y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\4\sqrt 3  + \sqrt 6 y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\y =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy, hệ phương trình có nghiệm \(\left( {\sqrt 3 ; - 2\sqrt 2 } \right)\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}(m + 1)x - 4my = 2\\x - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(m + 1)\left( {1 + 2y} \right) - 4my = 2\\x = 1 + 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 + 2\left( {m + 1} \right)y - 4my = 2\\x = 1 + 2y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {1 - m} \right)y = 1 - m\\x = 1 + 2y\end{array} \right.\)

Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì \(1 - m = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Chọn: B