Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung điểm

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề sai là: $I$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow {MI\,\,}  = \overrightarrow {MA\,\,}  + \overrightarrow {MB\,\,}$với mọi điểm $M$.

Sửa lại: $I$ là trung điểm $AB$ thì $2\overrightarrow {MI\,\,}  = \overrightarrow {MA\,\,}  + \overrightarrow {MB\,\,}$với mọi điểm $M$.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IA'}  + \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IC'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {GI}  + \left( {\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IA'}  + \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {IC'} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {IC'}  + \overrightarrow {C'A'}  + \overrightarrow {IC'}  + \overrightarrow {C'A'}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {IC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {IC}  + 3\overrightarrow {IC'}  + 3\overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {A'B'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG}  = \dfrac{1}{4}\left( { - \dfrac{2}{3}\overrightarrow a  + \overrightarrow a  - 3\overrightarrow c  + 2\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{3}\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 3\overrightarrow c } \right)\end{array}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành $ABCD$ ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AC} .$

Chọn  B.         

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm và các vectơ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'}$.

Mà $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AA'}  \Rightarrow \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)}$. Đặc biệt khi $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB//A'B'\\A'B' \bot A'D'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot A'D' \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'D'}  = 0$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm và công thức hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Do $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ là hình lập phương nên $AC{C_1}{A_1}$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $A{C_1} \Rightarrow \overrightarrow {AO}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{C_1}}$.

Ta có: $\overrightarrow {A{C_1}}  = \overrightarrow {A{A_1}}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A{A_1}}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$

 $\Rightarrow \overrightarrow {AO}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).$

Chọn B.

Phương pháp giải:

$\angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow c } \right)$ với $\overrightarrow c$ là vectơ cùng hướng với $\overrightarrow b$.

Lời giải chi tiết:

Ta có : $\overrightarrow {AD}$ cùng hướng với $\overrightarrow {B'C'}$

$\Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {B'C'} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle DAC$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \\ = 3\overrightarrow {AG}  + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {GA}  = 4\overrightarrow {AG} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array}$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $AD = x \Rightarrow AC = \dfrac{3}{2}x,\,\,CD = x$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AB.AD.\cos \angle DAB - AB.AC.\cos \angle CAB\\ = AB.x.\cos {60^0} - AB.\dfrac{3}{2}x.\cos {60^0}\\ = AB.x.\dfrac{1}{2} - AB.\dfrac{3}{2}x.\dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{4}AB.x\end{array}$

Khi đó ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{4}AB.x}}{{AB.x}} =  - \dfrac{1}{4} < 0$.

Vậy $\cos \left( {AB;CD} \right) = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos \varphi  = \dfrac{1}{4}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Do $ABC'D'$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = CD\\AB \nearrow  \nearrow D'C'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {D'C'}$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \\ =  - \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \end{array}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$ với $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.

Lời giải chi tiết:

Do $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GD}  + \left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = 3\overrightarrow {DG} \end{array}$

Vậy mệnh đề C đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) $I$ là trung điểm của $MN \Rightarrow \overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = 2\overrightarrow {AI} \,\,\forall A$.

+) Hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ được gọi là cùng phương nếu tồn tại hằng số $k \ne 0$ sao cho $\overrightarrow a  = k\overrightarrow b$.

Lời giải chi tiết:

Do $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {NI}$ là 2 vectơ ngược hướng nên đáp án B sai.

Chọn B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \,\,\forall M$, với $I$ là trung điểm của $AB$.

Lời giải chi tiết:

Do $O$ là trung điểm của $AC,\,\,BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right. \Rightarrow$ Mệnh đề A, B đúng.

$\Rightarrow \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO}  \Rightarrow$ Mệnh đề C đúng.

Chọn D

Phương pháp giải:

$d \bot d' \Rightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow {u'}$.

Lời giải chi tiết:

$d \bot d' \Rightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow {u'}  \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right) = {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right) = \cos {90^0} = 0$.

Chọn D

Phương pháp giải:

Cho 3 vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c$, trong đó $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c$ đồng phẳng là tồn tại cặp số $\left( {m;n} \right)$ sao cho $\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}2\overrightarrow y  - \overrightarrow x  = 2\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right) - \left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c  = \overrightarrow z \end{array}$

Do đó ba vectơ $\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z$ đồng phẳng.

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} \,\,\forall M$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {MA}  - m\overrightarrow {PD}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AG}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

$\angle \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {FG} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'}  = AB.A'C'.\cos \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {A'C'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AB.A'C'.\cos \angle \left( {\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {A'C'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\end{array}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hình hành.

Lời giải chi tiết:

Ta có $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\\p = 0\end{array} \right. \Rightarrow m + n + p = 1 + 1 + 0 = 2$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ba điểm: $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}$ và công thức trọng tâm của tam giác: $\overrightarrow {MG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, $M$ là điểm bất kì.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {SG}  =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)\\ =  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \end{array}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng khái niệm đồng phẳng của vectơ.

Lời giải chi tiết:

Trong không gian, ba vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c$ được gọi là đồng phẳng nếu và chỉ nếu chúng có giá song song với một mặt phẳng nào đó.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm: Cho tam giác $BCD$ có trọng tâm $G$. Với mọi điểm $M$ ta luôn có: $\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 3\overrightarrow {MG}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {DM} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{6}\left( { - 2\overrightarrow c  + \overrightarrow b } \right) - \dfrac{1}{6}\left( { - 2\overrightarrow d  + \overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  =  - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  =  - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c  - 2\overrightarrow d } \right)\end{array}$

Vậy $\overrightarrow {MG}  =  - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow b  - 2\overrightarrow c  - 2\overrightarrow d } \right)$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi vecto để đưa về $MK = x$ với $x$ là hằng số thì quỹ tích điểm $M$ là mặt cầu tâm $K$ có bán kính bằng $x$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Tam giác $ABC$ là tam giác đều có cạn bằng 8 nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\GA = GB = GC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}AB = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA}  + G{A^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB}  + G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC}  + G{C^2} = 100\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) = 100\\ \Leftrightarrow 3M{G^2} + 2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0  + 3G{A^2} = 100\\ \Leftrightarrow 3M{G^2} + 3.{\left( {\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow M{G^2} = 12 \Leftrightarrow MG = 2\sqrt 3 \end{array}$

Vậy quỹ tích điểm $M$ là mặt cầu tâm $G$ có bán kính bằng $2\sqrt 3$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Hình hộp có tất cả các mặt đều là hình bình hành.

- Sử dụng công thức ba điểm: $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}$.

- Áp dụng công thức hình hành hành: Cho hình bình hành $ABCD$, ta có: $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CC'}$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} .$

Lại có: $\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AA'}$.

Do đó $\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} .$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tích vô hướng của 2 véctơ: Tích vô hướng của hai vectơ bằng tích độ dài nhân cos góc xen giữa.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:

- Cùng song song với một mặt phẳng.

- Tồn tại $m,\,\,n\,\,\left( {{m^2} + {n^2} > 0} \right)$ sao cho $\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}$

Mà $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {B'D'}$$\Rightarrow \overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}$ .

Vậy $\overrightarrow {B'D'} ;\,\,\overrightarrow {BA} ;\,\,\overrightarrow {BC}$ đồng phẳng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Dựng vectơ gốc $A$ bằng vectơ $\overrightarrow {BC}$.

- Chứng minh $\Delta ABC$ đều, sử dụng tính chất của tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

Dựng hình bình hành $ABCE$, khi đó ta có $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AE}$.

$\Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AE} } \right) = \angle BAE$.

Vì tứ diện $ABCD$ đều nên $AB = BC = CA \Rightarrow \Delta ABC$ đều.

Do đó $\angle ABC = {60^0}$.

Mà $ABCE$ là hình bình hành (theo cách dựng) nên $\angle BAE = {180^0} - \angle ABC = {120^0}$.

Vậy $\angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của trọng tâm tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ $\Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính tích vô hướng $\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC}$.

- Sử dụng định nghĩa tích vô hướng $\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC}  = SB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} \end{array}$

+) $\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC}  = SC.AC.cos\angle \left( {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {AC} } \right)$.

Xét $\Delta SAC$ ta có $SA = AC = SC = a \Rightarrow \Delta SAC$ đều $\Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}$.

$\Rightarrow \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {60^0} = \frac{1}{2}{a^2}$.

+) $\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC}  = CB.AC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {AC} } \right)$.

Xét tam giác $ABC$ có $AB = AC = a,\,\,BC = a\sqrt 2$ $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại $A$.

$\Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {180^0} - {45^0} = {135^0}$.

$\Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC}  = a\sqrt 2 .a.\cos {135^0} =  - {a^2}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}{a^2} - {a^2} =  - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Rightarrow SB.AC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) =  - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow a.a.\cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) =  - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow \cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^0}\end{array}$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm: $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$ với $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD$.

Lời giải chi tiết:

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên ta có: $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array}$

Vậy khẳng định đúng là A.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung điểm: $\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB'} } \right)$ và công thức hình bình hành: $\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow b  - \overrightarrow a  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \end{array}$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác BCD thì $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$.

Lời giải chi tiết:

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD thì $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tích vô hướng: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\overrightarrow {\left| b \right|} .\cos \angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\overrightarrow {AC} ;\,\,\overrightarrow {A'C'}$ là 2 vectơ cùng phương $\Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle BAC = {45^0}$.

Do A’B’C’D’ là hình vuông cạnh a nên $A'C' = a\sqrt 2$.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'}  = AB.A'C'.\cos {45^0} = a.a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Gọi $I = AB' \cap A'B$ và E là trung điểm của CD’, xác định tọa độ điểm I và E.

- Giải phương trình $\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {CE}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $I = AB' \cap A'B$, vì ABB’A’ là hình bình hành nên I là trung điểm của A’B và AB’ $\Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)$.

Gọi E là trung điểm của CD’ $\Rightarrow E\left( {\frac{1}{2};2; - 3} \right)$.

Xét tứ giác A’D’CB có A’D’ // BC, A’D’ = BC $\Rightarrow A'D'CB$ là hình bình hành $\Rightarrow A'B\parallel CD'$ và A’B = CD’.

$\Rightarrow BI\parallel CE$ và BI = CE, do đó $\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {CE}$.

Ta có $\overrightarrow {CE}  = \left( { - \frac{5}{2};2;0} \right)$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2} - {x_B} =  - \frac{5}{2}\\1 - {y_B} = 2\\1 - {z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} =  - 1\\{z_B} = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {4; - 1;1} \right)$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tọa độ vectơ trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Ta có $A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( { - 4;1;9} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 6; - 2;10} \right)$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC'} \right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AC'} \right|}$

Gọi cạnh của hình lập phương bằng a.

$AM\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow AM\bot AN\Rightarrow \Delta AMN$ vuông tại A

$\begin{align}  & M{{N}^{2}}=M{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}=M{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}} \\  & =\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ \end{align}$

$B'C'\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow B'C'\bot AB'\Rightarrow \Delta B'C'$ vuông tại B’.

$\begin{align}  & C'{{A}^{2}}=C'B{{'}^{2}}+B'{{A}^{2}}=C'B{{'}^{2}}+B'{{B}^{2}}+B{{A}^{2}} \\  & ={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow C'A=a\sqrt{3} \\ \end{align}$

Lại có:

$\begin{align}  & \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} \right)\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'C'} \right) \\  & =\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+A{{B}^{2}}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{B'C'} \\ \end{align}$

Mà $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{B'C'}=0$ (do các tích vô hướng của các vector vuông góc)

Nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=A{{B}^{2}}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{B'C'}={{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{2}={{a}^{2}}$

Vậy $\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC'} \right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AC'} \right|}=\frac{{{a}^{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của hình lập phương và quy tắc trung điểm để cộng các véc tơ.

Nếu $I$ là trung điểm của $AB$thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi ${O}'$ là tâm của hình vuông ${A}'{B}'{C}'{D}'$.

Ta có :

$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{C}'}+\overrightarrow{O{D}'}$

$=\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right)+\left( \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} \right)+\left( \overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{C}'} \right)+\left( \overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{D}'} \right)$.

$=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{O{O}'}+2\overrightarrow{O{O}'}=4\overrightarrow{O{O}'}$.

Do đó $OS=\left| 4\overrightarrow{O{O}'} \right|=4.\left| \overrightarrow{O{O}'} \right|=4a$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$ và định lí Cosin trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}} = \frac{{\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right)}}{{AB.CD}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.CD}}\\ = \frac{{AB.AD.\cos \left( {AB;AD} \right) - AB.AC.\cos \left( {AB;AC} \right)}}{{AB.CD}}\\ = \frac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)}}{{2AB.CD}}\\ =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = {120^0} \Rightarrow \left( {AB;CD} \right) = {60^0}\end{array}$

Chọn A.