Phương pháp giải:

Sử dụng các đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm:

- Nếu I là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

- Với mọi điểm M, I là trung điểm của AB thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Lời giải chi tiết:

Vì I là trung điểm của AM nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0 \).

Mà M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IM} \).

Do đó \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IA} \) hay \(2\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Đáp án D.

Câu 17 (NB):

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm để cộng vectơ.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = a\).

Đáp án A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Vì \(ABCD\)  là hình bình hành nên ta có:\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \) đáp án A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Quy tắc cộng, trừ vectơ cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {PM}  = \overrightarrow {NP} \) là đẳng thức sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RN}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {QR} \)

\(\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN} \\ = \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {PR}  + \overrightarrow {RN} \\ = \overrightarrow {MR}  + \overrightarrow {RN} \\ = \overrightarrow {MN} \end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng qui tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} \)\( = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} \) \( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AC} \)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\)  là trung điểm của \(BC \Rightarrow AM = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2.3.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {OC} \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng vecto.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(AB = 3a,\,\,AC = 4a,\,\,B\) nằm giữa \(A,\,\,C \Rightarrow BC = AC - AB = 4a - 3a = a.\)

Xét đáp án A: \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \frac{2}{3}.3a = 2a.\)Ta có: \(AB = 3a,\,\,AC = 4a,\,\,B\) nằm giữa \(A,\,\,C \Rightarrow BC = AC - AB = 4a - 3a = a.\)

\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

Xét đáp án B: \(\left| {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC}  - 3\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2a\)

\( \Rightarrow \) đáp án B sai.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng, trừ vectơ và định lý Py-ta-go.

Lời giải chi tiết:

\(T = \left| {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 5a.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất trung điểm và quy tắc cộng

Lời giải chi tiết:

Ta có M  là trung điểm của  BC \( \Rightarrow \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {BM} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {PM}  =  - \overrightarrow {MP} \)

Vậy D sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tác hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Dựng hình bình hành OACB. Khi đó: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD} \)

Vậy \(\overrightarrow {OD} \) nằm trên phân giác góc  \(xOy \Leftrightarrow OACB\) là hình thoi \( \Leftrightarrow OA = OB\).

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng, trừ vectơ.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2a\cos {30^0} = a\sqrt 3 ,\)

\(\,\,\left| {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DO}  - \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO} } \right| = a\cos {60^0} = \,\,\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng, trừ vectơ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {BO}  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {AO} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {OD} } \right| = AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {AO} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right| = 0.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc trừ ta có  \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = BC = a\)

Gọi \(A'\) là đỉnh của hình bình hành \(ABA'C\) và \(O\) là tâm hình nình hành đó.

Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AA'} \).

Ta có: \(AO = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = AA' = 2AO = a\sqrt 3 \)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

\(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pytago ta có: \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = 5\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng vecto.

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc cộng ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB} .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm.

Lời giải chi tiết:

I  là trung điểm của AB  \( \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {BI}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng vectơ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 \)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc cộng vectơ.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CA} \)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

M là trung điểm của AB \( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)  và \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \) với O là điểm bất kì.

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow 0 .\)

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow 0 .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CG}  =  - \overrightarrow {AG}  - \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB} \)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Dự đoán đáp án và chứng minh.

+) Sử dụng công thức trung điểm.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\)

Để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| \Leftrightarrow AC = MI\)

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\) là đường tròn tâm I bán kính \(R = AC\) với I là trung điểm AB

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất hình bình hành và quy tắc 3 điểm.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {MC} } \right) + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CD} \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành để tính.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\) là điểm sao cho tứ giác \(ABDC\) là hình bình hành.

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD} \)

Vì tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) nên tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật suy ra \(AD = BC = a\sqrt 5 \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = a\sqrt 5 \)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc cộng trừ để tính.

Lời giải chi tiết:

+ Theo quy tắc hình bình hành ta có  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).

Áp dụng định lí Pitago ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = \sqrt 2 a\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 2 \)

+ Vì O là tâm của hình vuông nên \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CO}  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BO} \)  

Vậy \(\left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BO} } \right| = BO = {1 \over 2}BD = {1 \over 2}AC = {{a\sqrt 2 } \over 2}.\)

+ Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}  \Rightarrow \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BD} \)

Mà  \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 2 \) suy ra \(\left| {\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {DA} } \right| = a\sqrt 2 \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lấy\(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(A\). Áp dụng quy tắc trừ để tính.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc trừ ta có:

\(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = \left( {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right) - \left( {\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} } \right) = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {DC} \)

Lấy\(B'\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(A\)

Khi đó \( - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB'}  \Rightarrow \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {BB'} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BB'} } \right| = BB' = 2a\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Chứng minh  \(\Delta ABC\) đều. Gọi I là trung điểm BC. Tính theo \(\overrightarrow {AI} \)

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều nhận O làm trọng tâm

Gọi I là trung điểm BC. \(\Delta ABC\) đều nên \(AI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

\(\left| {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = a\sqrt 3 \)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tác hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Biến đổi vế trái ta có

\(\begin{array}{l}VT = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {CD}  + \left( {\overrightarrow {ED}  + \overrightarrow {DA} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {ED} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {DA} \\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {ED} } \right) + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DA} \\\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {ED} \end{array}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  =  - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} .\)  

Theo quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành để tách và nhóm cho phù hợp.

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {D'D}  = \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AD'} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) - \overrightarrow {AC}  - \left( {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AD} '} \right) + \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Vẽ hình, xác định vectơ bài cho rồi tính độ dài vecto bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

Dựng \(D\) sao cho \(2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD} \).

Khi đó, \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = 4\) nên \(\Delta ACD\) là tam giác vuông cân tại \(D\)

Dựng \(E\) sao cho tứ giác \(ACED\) là hình vuông.

Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE = CD\)

Mà \(C{D^2} = 2A{C^2} = {2.4^2} = 32 \Rightarrow CD = 4\sqrt 2 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng qui tắc trung điểm và qui tắc cộng véc tơ

Lời giải chi tiết:

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có : \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {IM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {BI} \end{array}\)

Nên \(I\) là trung điểm của \(AB.\)

Phương pháp giải:

Thu gọn các véc tơ ở đẳng thức bài cho và nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA} } \right|\) \( \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| \Leftrightarrow BC = AM\)

Do đó điểm \(M\) luôn cách điểm \(A\) một khoảng \(BC\) cố định.

Vậy \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(A\) bán kính \(BC\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính \(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {AB} \) và suy ra độ dài.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\) là trung điểm của \(OB\).

Khi đó \(\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AE} \).

\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = a\) nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow AO = OB = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow OE = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Tam giác \(AOE\) vuông tại \(O\) có \(AE = \sqrt {A{O^2} + O{E^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{2{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AE} } \right| = 2AE\)\( = 2.\frac{{a\sqrt {10} }}{4} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\overrightarrow u \) không phụ thuộc vị trí điểm \(M\)và tính theo quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Theo quy tắc phép trừ ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MD} } \right) = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {DB} \)

Suy ra \(\overrightarrow u \) không phụ thuộc vị trí điểm \(M\).

Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(DB\) cắt \(BC\) tại \(C'\).

Khi đó tứ giác \(ADBC'\) là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra \(\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AC'} \)

Do đó \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {CC'} \)

Vì vậy \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {CC'} } \right| = BC + BC' = a + a = 2a\)

 Chọn  A.

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow 0 \), từ đó sử dụng quy tắc cộng để tách và nhóm cho phù hợp.

Lời giải chi tiết:

Vì \(PN,\,MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên

\(PN//BM,\,\,MN//BP\) suy ra tứ giác \(BMNP\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {PN} \)

\(N\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {NA} \)

Do đó theo quy tắc ba điểm ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {AP}  = \left( {\overrightarrow {PN}  + \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {AP} \\ = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Theo quy tắc ba điểm ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OP}  + \overrightarrow {PA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OP} } \right) + \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {NC} \\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OP} } \right) - \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {AP} } \right)\end{array}\)

Mà  \(\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow 0 \)  suy ra  \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {OP} \).

Chọn  D.