Phương pháp giải:

- Tính \(g'\left( x \right)\) và tìm nghiệm của \(g'\left( x \right) = 0\) trong đoạn \(\left[ { - 4;3} \right]\).

- Tính giá trị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) tại các điểm \( - 4;3\) và các điểm làm cho \(g'\left( x \right) = 0\).

- So sánh các giá trị trên và kết luận GTNN.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {1 - x} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - 1 + x} \right]\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 - x\).

Từ hình vẽ ta thấy, trên đoạn \(\left[ { - 4;3} \right]\) thì đường thẳng \(y = 1 - x\) cắt đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) tại \(3\) điểm lần lượt có hoành độ \( - 4; - 1;3\) nên ta so sánh các giá trị \(g\left( { - 4} \right),g\left( { - 1} \right),g\left( 3 \right)\).

Ta thấy: \({S_1} = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left[ {1 - x - f'\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_{ - 4}^{ - 1} {\left[ { - g'\left( x \right)} \right]dx}  = g\left( { - 4} \right) - g\left( { - 1} \right) > 0 \Rightarrow g\left( { - 4} \right) > g\left( { - 1} \right)\).

\({S_2} = \int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {f'\left( x \right) - 1 + x} \right]dx}  = \int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {g'\left( x \right)} \right]dx}  = g\left( 3 \right) - g\left( { - 1} \right) > 0 \Rightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { - 1} \right)\).

Do đó \(g\left( { - 1} \right)\) là GTNN của hàm số \(y = g\left( x \right)\) hay hàm số đạt GTNN tại \({x_0} =  - 1\).

Chọn B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân 2 vế.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( x \right) = 9{x^3} - 1\), (\(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\))

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {3xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( x \right)} \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {9{x^3} - 1} \right)} dx \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {xf\left( {{x^2}} \right)} dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \left. {\left( {\dfrac{9}{4}{x^4} - x} \right)} \right|_0^1\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right)} d\left( {{x^2}} \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} dt - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4},\,\,\left( {t = {x^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \dfrac{5}{2}\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Tính tích phân theo phương pháp từng phần. Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^3}dx\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^3}dx\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^4}}}{4}\end{array} \right.\)

Khi đó \(\int\limits_1^e {{x^3}} \ln xdx = \left. {\ln x.\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|_1^e - \dfrac{1}{4}\int\limits_1^e {{x^3}dx}  = \dfrac{{{e^4}}}{4} - \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}\left. {{x^4}} \right|_1^e = \dfrac{{{e^4}}}{4} - \dfrac{1}{{16}}\left( {{e^4} - 1} \right) = \dfrac{{3{e^4} + 1}}{{16}}\).

Do đó \(a = 4,b = 16 \Rightarrow ab = 64\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 4} \), đổi cận và tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 4} \)\( \Rightarrow {x^2} + 4 = {t^2} \Rightarrow xdx = tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 4} .xdx}  = \int\limits_2^{\sqrt 5 } {{t^2}dt}  = \left. {\dfrac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^{\sqrt 5 } = \dfrac{1}{3}\left( {\sqrt {{5^3}}  - 8} \right)\)

Do đó \(a = 3,b = 5,c = 8 \Rightarrow abc = 120\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^4} - 8x\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^4} - 8x\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 4{x^3} - 8\\v = F\left( x \right)\end{array} \right.\).

Khi đó \(12 = \int\limits_1^3 {\left( {{x^4} - 8x} \right)f\left( x \right)dx} \)\( = \left. {\left[ {\left( {{x^4} - 8x} \right).F\left( x \right)} \right]} \right|_1^3 - \int\limits_1^3 {\left( {4{x^3} - 8} \right)F\left( x \right)dx} \)

                \(\begin{array}{l} = 57.F\left( 3 \right) - \left( { - 7} \right).F\left( 1 \right) - 4\int\limits_1^3 {\left( {{x^3} - 2} \right)F\left( x \right)dx}  = 57.5 + 7.3 - 4I = 306 - 4I\\ \Rightarrow 12 = 306 - 4I \Leftrightarrow I = \dfrac{{147}}{2}\end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hàm số chẵn.

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}dx = 2020} \,\,(1) \Rightarrow \int\limits_2^{ - 2} {\frac{{f\left( { - x} \right)}}{{{{2018}^{ - x}} + 1}}\left( { - dx} \right) = 2020 \Leftrightarrow } \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{{2018}^x}f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}dx = 2020} \,\,\,(2)\)

(do \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\))

Cộng (1) với (2):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}dx + } \,\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{{2018}^x}f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}dx = 4040} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}} + \frac{{{{2018}^x}f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}} \right)dx}  = 4040 \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  = 4040\end{array}\)

Lại do \(y = f\left( x \right)\) là hàm chẵn nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx}  = 2.\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  \Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 2020\)

Ta có: \(\int\limits_0^2 {\left( {1 + f\left( x \right)} \right)dx}  = \int\limits_0^2 {dx}  + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 2 + 2020 = 2022\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân về tổng, hiệu các hàm phân thức cơ bản rồi sử dụng công thức tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} + 6x + 9}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {1 - \frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = \left. x \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = 1 - J\)

Với \(J = \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 9}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\frac{{4x + 12 - 3}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}dx} \) \( = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{4}{{x + 3}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \right]dx} \) \( = 4.\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{x + 3}}}  - 3.\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \)

\( = 4\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{x + 3}}}  - 3.\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}} \) \( = \left. {\left( {4\ln \left| {x + 3} \right| + \frac{3}{{x + 3}}} \right)} \right|_0^1\) \( = 4\ln 4 + \frac{3}{4} - 4\ln 3 - 1 = 4\ln \frac{4}{3} - \frac{1}{4}\)

Do đó \(I = 1 - J = 1 - \left( {4\ln \frac{4}{3} - \frac{1}{4}} \right) = \frac{5}{4} - 4\ln \frac{4}{3}\)\( \Rightarrow a = 5,b = 3\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {5^2} + {3^2} = 34\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = {e^x} + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {e^x} + 1 \Rightarrow dt = {e^x}dx \Rightarrow \dfrac{{dt}}{{t - 1}} = dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = \ln 2 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^x} + 1} \right)dx = } \int\limits_2^3 {\dfrac{{f\left( t \right)dt}}{{t - 1}} = } \,5 \Rightarrow \int\limits_2^3 {\dfrac{{f\left( x \right)dx}}{{x - 1}} = } \,5\)

Ta có:

\(\int\limits_2^3 {\dfrac{{\left( {2x - 3} \right)f\left( x \right)}}{{x - 1}}dx}  = 3 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {\left( {2f\left( x \right) - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}}} \right)dx}  = 3 \Leftrightarrow 2\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx - \int\limits_2^3 {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}}dx} }  = 3\)\( \Leftrightarrow 2\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx - 5}  = 3 \Leftrightarrow \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  = 4\)\( \Rightarrow I = 4\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

- Lập hàm vận tốc trên đoạn từ \(\left[ {0;7} \right],\left( s \right)\)

- Quãng đường: \(S = \int\limits_0^7 {v\left( t \right)dt} \).

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình đường parabol (P) là \(y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\)

(P) có đỉnh là \(I\left( {2;7} \right)\), đồng thời đi qua điểm (3;6) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 7\\9a + 3b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b + c = 7\\9a + 3b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 4\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):y =  - {x^2} + 4x + 3\)

Ta có hàm số sau: \(v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {t^2} + 4t + 3,\,\,\,\,\,0 \le t \le 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,t > 3\,\end{array} \right.\)

Quãng đường cần tìm là :

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^7 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)dt}  + \int\limits_3^7 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^3 {\left( { - {t^2} + 4t + 3} \right)dt}  + \int\limits_3^7 {6dt} \\ = \left. {\left( { - \frac{1}{3}{t^3} + 2{t^2} + 3t} \right)} \right|_0^3 + 6.\left( {7 - 3} \right) = 18 + 24 = 42\,\,\left( {km} \right)\end{array}\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Xác định hàm số \(f\left( x \right)\), từ đó tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x \ne 0\), ta có: \(f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right) = 3x\,\, \Rightarrow f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right) = \frac{3}{x}\,\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {f\left( x \right) + 2f\left( {\frac{1}{x}} \right)} \right) - 2\left( {f\left( {\frac{1}{x}} \right) + 2f\left( x \right)} \right) = 3x - \frac{6}{x} \Leftrightarrow  - 3f\left( x \right) = 3x - \frac{6}{x}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{2}{x} - x\end{array}\)

Khi đó: \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{2}{x} - x} \right)dx}  = \left. {\left( {2\ln \left| x \right| - \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_1^2 = 2\ln 2 - \frac{3}{2}\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx}  = \dfrac{1}{a}\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\left( {n \ne  - 1} \right)\)  và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) với \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {2x + m} }} = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x + m} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}dx}  = \dfrac{1}{2}\left. {\dfrac{{{{\left( {2x + m} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{\dfrac{1}{2}}}} \right|} _0^1 = \sqrt {2 + m}  - \sqrt m \)

Từ đề bài ta có \(I \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt {2 + m}  - \sqrt m  \ge 1\)  \(\left( {m > 0} \right)\)

\(\sqrt {2 + m}  \ge \sqrt m  + 1 \Leftrightarrow 2 + m \ge m + 2\sqrt m  + 1 \Leftrightarrow 2\sqrt m  \le 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow 0 < m \le \dfrac{1}{4}.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Đặt \({x^5} + 4x + 3 = t\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({x^5} + 4x + 3 = t \Rightarrow \left( {5{x^4} + 4} \right)dx = dt\)

Giải phương trình:      \({x^5} + 4x + 3 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 1\)

                                    \({x^5} + 4x + 3 = 8 \Leftrightarrow x = 1\)

Ta có: \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1 \Rightarrow \left( {5{x^4} + 4} \right).f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = \left( {5{x^4} + 4} \right)\left( {2x + 1} \right)\) \( \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {5{x^4} + 4} \right).f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {5{x^4} + 4} \right)\left( {2x + 1} \right)} dx \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^8 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {10{x^5} + 5{x^4} + 8x + 4} \right)} dx\)

Chọn: A

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dx = {e^t}dt\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dx = {e^t}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 3 \Rightarrow t = \ln 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^3 {\dfrac{{\left( {3x + 1} \right)dx}}{{3{x^2} + x\ln x}}}  = \int\limits_0^{\ln 3} {\dfrac{{\left( {3{e^t} + 1} \right){e^t}dt}}{{3{e^{2t}} + {e^t}t}}}  = \int\limits_0^{\ln 3} {\dfrac{{3{e^t} + 1dt}}{{3{e^t} + t}}}  = \int\limits_0^{\ln 3} {\dfrac{{d\left( {3{e^t} + t} \right)}}{{3{e^t} + t}}} \\ = \left. {\ln \left| {3{e^t} + t} \right|} \right|_0^{\ln 3} = \ln \left| {9 + \ln 3} \right| - \ln 3 = \ln \dfrac{{9 + \ln 3}}{3} = \ln \left( {3 + \dfrac{{\ln 3}}{3}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 9\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tính thời gian ô tô đi được đến lúc dừng hẳn.

- Tính quãng đường ô tô đi được đến lúc dừng hẳn \(S = \int\limits_a^b {v\left( t \right)dt} \).

- Tính khoảng cách từ đầu xe đến hàng rào.

Lời giải chi tiết:

Khi xe dừng hẳn thì \(v = 0 \Rightarrow  - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 4s\).

Quãng đường ô tô đi được trong \(4s\) là : \(S = \int\limits_0^4 {\left( { - 5t + 20} \right)dt}  = \left. {\left( { - \dfrac{{5{t^2}}}{2} + 20t} \right)} \right|_0^4 = 40m\).

Xe ô tô còn cách hàng rào: \(45 - 40 = 5m\).

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t =  - x \Rightarrow dt =  - dx \Leftrightarrow dx =  - dt\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x =  - 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^{ - 1} {x{{(x - 1)}^2}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( { - t} \right){{\left( { - t - 1} \right)}^2}\left( { - dt} \right)}  = \int\limits_0^1 {t{{\left( {t + 1} \right)}^2}dt} \)

Chọn D

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp tính tích phân của hàm số hữu tỉ rồi suy ra các giá trị của \(a,\,b,\,c\) rồi tính giá trị của biểu thức và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \int\limits_1^3 {{{2x + 1} \over {{x^2} + 3x + 2}}dx} = \int\limits_1^3 {{{2x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}dx} \cr
& = \int\limits_1^3 {\left( {{3 \over {x + 2}} - {1 \over {x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {3\ln \left| {x + 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^3 \cr
& = 3\ln 5 - \ln 4 - 3\ln 3 + \ln 2 = 3\ln 5 - 2\ln 2 - 3\ln 3 + \ln 2 \cr
& = - \ln 2 - 3\ln 3 + 3\ln 5 = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - 1 \hfill \cr
b = - 3 \hfill \cr
c = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a + b + c = - 1 - 3 + 3 = - 1. \cr} \)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Biến đổi rồi lấy nguyên hàm hai vế , từ đó tìm ra hàm \(f\left( x \right)\) rồi tính tích phân.

Chú ý \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left[ {2f\left( x \right) + 1 - {x^2}} \right]f'\left( x \right) = 2x\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2f\left( x \right).f'\left( x \right) + f'\left( x \right)\left( {1 - {x^2}} \right) = 2x.\left( {1 + f\left( x \right)} \right)\\ \Leftrightarrow 2f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( x \right) + 2x\left( {1 + f\left( x \right)} \right)\\ \Leftrightarrow {\left[ {{f^2}\left( x \right)} \right]^\prime } = {\left[ {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right)} \right]^\prime }\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \({f^2}\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + C\)

Lại có \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow 1 = \left( {1 - 1} \right).2 + C \Rightarrow C = 1\)

Nên \({f^2}\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^2}f\left( x \right) + {x^2} - f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow f\left( x \right)\left( {{x^2} - f\left( x \right)} \right) + {x^2} - f\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - f\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) =  - 1\left( {ktm} \right)\\f\left( x \right) = {x^2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  = \dfrac{1}{3}.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Tính tích phân trên từng khoảng của các hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(F\left( 2 \right) - F\left( { - 5} \right) = \int\limits_{ - 5}^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 5}^{ - 3} {\frac{{5 - x}}{2}dx}  + \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {x + 3} \right)dx}  = \frac{{145}}{6}\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Sử dụng MTCT ta tính được:

\(\int\limits_{ - 2}^0 {f'\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {{x^4} - 1} \right)}  < 0\)

\( \Rightarrow f\left( 0 \right) - f\left( { - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) < f\left( { - 2} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

\(\eqalign{
& \int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)\left( {{x^4} - 1} \right)} < 0 \cr
& \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right) < 0 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) < f\left( 0 \right)\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(f\left( 2 \right) < f\left( 0 \right) < f\left( { - 2} \right).\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tách tích phân đã cho thành hai tích phân nhỏ.

- Tính mỗi tích phân này bằng phương pháp từng phần.

Từ đó suy ra tích phân cần tính giá trị và suy ra \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^3 {\left[ {2x\ln \left( {x + 1} \right) + xf'\left( x \right)} \right]dx = 0} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {\left[ {2x\ln \left( {x + 1} \right)} \right]dx}  + \int\limits_0^3 {xf'\left( x \right)dx}  = 0\)

+) Tính \(I = \int\limits_0^3 {\left[ {2x\ln \left( {x + 1} \right)} \right]dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{x + 1}}\\v = {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx}  = 9\ln 4 - \int\limits_0^3 {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = 18\ln 2 - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^3 = 18\ln 2 - \frac{3}{2} - \ln 4 = 16\ln 2 - \frac{3}{2} \Rightarrow I = 16\ln 2 - \frac{3}{2}\end{array}\) 

+) Tính \(J = \int\limits_0^3 {xf'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow J = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 3f\left( 3 \right) - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).

\( \Rightarrow I + J = 0 \Leftrightarrow 16\ln 2 - \frac{3}{2} + 3 - \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 0 \Rightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = 16\ln 2 - \frac{3}{2} + 3 = \frac{{3 + 32\ln 2}}{2}\).

Do đó \(a = 3,b = 32 \Rightarrow a + b = 35\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tách tích phân cần tính thành hai tích phân.

- Tính các tích phân có được bằng cách sử dụng tích phân cơ bản và phương pháp đổi biến tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)} dx - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = I - J\)

Tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2}}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}.4 = 2\).

Tính \(J = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx =  - \left. {\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} =  - \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right) = 1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(I - J = 2 - \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn D

Phương pháp giải:

- Sử dụng tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dx = {x^2}dx\end{array} \right.\).

- Tính tích phân đã cho tìm \(a,b\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dx = {x^2}dx\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right)} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}.\dfrac{1}{x}} \right)dx}  = \dfrac{{{e^3}}}{3} - \dfrac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx}  = \dfrac{{{e^3}}}{3} - \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^e = \dfrac{{{e^3}}}{3} - \dfrac{{{e^3}}}{9} + \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9}{e^3} + \dfrac{1}{9}\) 

\( \Rightarrow a = \dfrac{2}{9},b = \dfrac{1}{9} \Rightarrow 9\left( {a + b} \right) = 3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến và nguyên hàm từng phần để để tính tích phân và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}} dx\)

Đặt \(\ln x = t \Rightarrow x = {e^t} \Rightarrow dt = \dfrac{1}{x}dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 2 \Rightarrow t = \ln 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\ln 2} {\dfrac{t}{{{e^t}}}dt = } \int\limits_0^{\ln 2} {t{e^{ - t}}dt} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = {e^{ - t}}dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v =  - {e^{ - t}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. { - t{e^{ - t}}} \right|_0^{\ln 2} + \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - t}}dt}  =  - \ln 2.{e^{ - \ln 2}} - \left. {{e^{ - t}}} \right|_0^{\ln 2} =  - \dfrac{1}{2}\ln 2 - {e^{ - \ln 2}} + 1 =  - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \dfrac{1}{2}.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{2}\\b = 1\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow S = 2a + 3b + c = 4.\end{array}\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Thực hiện tích phân từng phần:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\) tính tích phân đã cho suy ra \(a,b,c\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {\left( {x + 1} \right){e^x}dx}  = \left. {\left( {x + 1} \right){e^x}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {{e^x}dx}  = 3{e^2} - 2e - \left. {{e^x}} \right|_1^2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{e^2} - 2e - {e^2} + e = 3{e^2} - {e^2} - e\end{array}\)

Vậy \(a = 3,b =  - 1,c =  - 1 \Rightarrow a + b + c = 1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) = u\\\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = dv\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) = u\\\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 1}}dx = du\\ - \dfrac{1}{{x - 1}} = v\end{array} \right.\)

 Ta có \(\int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = \ln \left( {x - 1} \right).\left. {\left( { - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)} \right|} _2^{e + 1} + \int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} \)

                               \( =  - \dfrac{1}{e} - \left. {\dfrac{1}{{x - 1}}} \right|_2^{e + 1} =  - \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{e} + 1 = 1 - 2.{e^{ - 1}}\)

Suy ra \(a = 1;\,\,\,b =  - 2 \Rightarrow a + b =  - 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần và đổi biến số.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f'\left( x \right)dx}  = 2019\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 3x = u\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3dx = du\\f\left( x \right) = v\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f'\left( x \right)dx}  = \left. {\left( {1 + 3x} \right)f\left( x \right)} \right|_0^1 - 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

\( = 4f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2020 - 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2019\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\)

Xét \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx} \), đặt \(3x = t \Leftrightarrow 3dx = dt \Leftrightarrow dx = \dfrac{{dt}}{3}\).

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{3}.\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b} .\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^1 {\left[ {{e^x}f\left( x \right) + {e^x}f'\left( x \right)} \right]dx} \\ = \int\limits_0^1 {\left[ {{e^x}f\left( x \right)} \right]'dx}  = \left. {\left[ {{e^x}f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 = e.f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = e - 1\\ \Rightarrow a = 1;\,\,\,b =  - 1 \Rightarrow {a^{2019}} + {b^{2019}} = {1^{2019}} + {\left( { - 1} \right)^{2019}} = 1 - 1 = 0\end{array}\)

Chọn: C

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

- Viết công thức tính hai phần diện tích \({S_1},{S_2}\).

- Sử dụng điều kiện \({S_1} = {S_2}\) tìm \(a\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm : \(2{x^2} + a = 3x \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + a = 0\).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  = 9 - 8a > 0 \Leftrightarrow a < \dfrac{9}{8}\).

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).

Ta có : \({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {2{x^2} + a - 3x} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + ax} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{2}{3}x_1^3 - \dfrac{3}{2}x_1^2 + a{x_1}\)

\({S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {3x - 2{x^2} - a} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{2}{3}{x^3} - ax} \right)} \right|_{{x_1}}^{{x_2}} = \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} - \dfrac{3}{2}x_1^2 + \dfrac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)

Do \({S_1} = {S_2}\) nên \(\dfrac{2}{3}x_1^3 - \dfrac{3}{2}x_1^2 + a{x_1} = \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} - \dfrac{3}{2}x_1^2 + \dfrac{2}{3}x_1^3 + a{x_1}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x_2^2 - \dfrac{2}{3}x_2^3 - a{x_2} = 0 \Leftrightarrow 9x_2^2 - 4x_2^3 - 6a{x_2} = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(2x_2^2 - 3{x_2} + a = 0 \Leftrightarrow a = 3{x_2} - 2x_2^2\)  thay vào \(\left( 1 \right)\) được :

\(9x_2^2 - 4x_2^3 - 6\left( {3{x_2} - 2x_2^2} \right){x_2} = 0 \Leftrightarrow 8x_2^3 - 9x_2^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0 \Rightarrow a = 0\left( {KTM} \right)\\{x_2} = \dfrac{9}{8} \Rightarrow a = \dfrac{{27}}{{32}}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(a = \dfrac{{27}}{{32}} \in \left( {\dfrac{4}{5};\dfrac{9}{{10}}} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tính \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

+) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)} dx\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 2{\sin ^2}x + 3 = 1 - \cos 2x + 3 = 4 - \cos 2x\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {4 - \cos 2x} \right)dx}  = 4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + C\)

Theo giả thiết có \(f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow 4.0 - \dfrac{1}{2}\sin 0 + C = 4 \Leftrightarrow C = 4\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = 4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4\\ \Rightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {4x - \dfrac{1}{2}\sin 2x + 4} \right)dx} \\ = \left. {\left( {2{x^2} + \dfrac{1}{4}\cos 2x + 4x} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = 2\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \pi  - \dfrac{1}{4} = \dfrac{{{\pi ^2} + 8\pi  - 2}}{8}\end{array}\).

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 6x \Rightarrow dt = 6dx \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{6}\).

Khi đó \(1 = \int\limits_0^1 {xf\left( {6x} \right)dx}  = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{6}t.f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{6}}  = \dfrac{1}{{36}}\int\limits_0^6 {t.f\left( t \right)dt} \) \( \Rightarrow \int\limits_0^6 {xf\left( x \right)dx}  = 1.36 = 36\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = u\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^6 {{x^2}f'\left( x \right)dx}  = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^6 - \int\limits_0^6 {2xf\left( x \right)dx}  = 36f\left( 6 \right) - 2\int\limits_0^6 {xf\left( x \right)dx}  = 36.1 - 2.36 =  - 36\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần

Lưu ý rằng tích phân không phụ thuộc vào biến

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 5x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = \dfrac{{dt}}{5}\\x = \dfrac{t}{5}\end{array} \right.\).

Đổi cận: Với \(x = 0 \Rightarrow t = 0\); với \(x = 1 \Rightarrow t = 5\).

Khi đó: \(\int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right){\rm{d}}x}  = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {\dfrac{t}{5}f\left( t \right)\dfrac{{{\rm{dt}}}}{5}}  = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t}  = 25\)

Do đó \(\int\limits_0^5 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25\,\) (vì tích phân không phụ thuộc vào biến)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = f'\left( x \right){\rm{d}}x\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

Ta có: \(\int\limits_0^5 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25\, \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{2}.f\left( x \right)\left| \begin{array}{l}5\\0\end{array} \right. - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{25}}{2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 25 \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {{x^2}.f'\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - 25\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Xét dấu biểu thức \(\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}}\) sau đó chia các khoảng để phá trị tuyệt đối.

- Sử dụng phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ khi bậc tử > bậc mẫu (chia tử cho mẫu).

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có bảng xét dấu:

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}}} \right|dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left| {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}}} \right|dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}}} \right|dx} \\\,\,\,\, =  - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}}dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}}dx} \\\,\,\,\, =  - \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {x - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx}  + \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \\\,\,\,\, =  - \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 2}^{ - 1} + \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0\\\,\,\,\, =  - \left( {\dfrac{1}{2} - 2\ln 2} \right) + \left( {2 - 2\ln 3} \right) - \left( {\dfrac{1}{2} - 2\ln 2} \right)\\\,\,\,\, = 1 + 4\ln 2 - 2\ln 3\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 4,\,\,c =  - 2\end{array}\)

Vậy \(T = 2{a^3} + 3b - 4c = {2.1^3} + 3.4 - 4\left( { - 2} \right) = 22\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Biến đổi đẳng thức đã cho thành:

\(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x \Leftrightarrow f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\)

- Từ đó suy ra \(f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

- Sử dụng điều kiện bài cho tìm hàm số \(f\left( x \right)\) và tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x \Leftrightarrow f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)

Vì \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow d = 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow \left( {64a{x^3} + 16b{x^2} + 4cx + 2} \right) - \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + 2} \right) = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow 63a{x^3} + 15b{x^2} + 3cx = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}63a = 4\\15b = 0\\3c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{4}{{63}}\\b = 0\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{4}{{63}}{x^3} + \dfrac{2}{3}x + 2\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{4}{{63}}{x^3} + \dfrac{2}{3}x + 2} \right)dx}  = \dfrac{{148}}{{63}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến, đặt \(t = 3 - 2x\).

- Sử dụng tính chất: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \), chia cận phù hợp để phá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 - 2x \Rightarrow dt =  - 2dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow t = 7\\x = 3 \Rightarrow t =  - 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_7^{ - 3} {f\left( {\left| t \right|} \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 3}^7 {f\left( {\left| t \right|} \right)dt} \\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( { - t} \right)dt}  + \int\limits_0^7 {f\left( t \right)dt} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( { - \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^7 {f\left( x \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {6 + 10} \right) = 8\end{array}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Biến đổi hàm số đã cho về \(\dfrac{1}{{1 + \tan x}} = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + \dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x - \cos x}}} \right)\) rồi tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}}}dx} \\ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{\dfrac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x}}}}dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\ = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x + \cos x + \cos x - \sin x}}{{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left[ {x + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}} } \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + \ln \sqrt 2 } \right) = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2}\ln \sqrt 2 \\ = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\ln 2\\ \Rightarrow a = \dfrac{1}{8},b = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {\left[ {xf\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) \( = f\left( 1 \right) + \int\limits_1^0 {f\left( x \right)dx} .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm hàm số \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 0 \right) = 0\) tìm hằng số \(C\).

- Với hàm \(f\left( x \right)\) tìm được, tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = \int {{{\sin }^4}xdx} \)

\(\begin{array}{l} = \int {{{\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)}^2}dx} \\ = \dfrac{1}{4}\int {\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{4}\int {\left( {1 - 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} \\ = \dfrac{1}{4}\left( {x - \sin 2x + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 4x}}{4}} \right) + C\\ = \dfrac{{3x}}{8} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}} + C\end{array}\) 

Theo bài ra ta có \(f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{3x}}{8} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}}\).

Vậy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{{3x}}{8} - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}}} \right)dx}  = \dfrac{{3{\pi ^2} - 16}}{{64}}\) (sử dụng MTCT).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất của hàm chẵn: \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} \) (\(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - a;a} \right]\)).

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Lời giải chi tiết:

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{86}}{{15}}\) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{43}}{{15}}\).

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 5 - \dfrac{{43}}{{15}} = \dfrac{{32}}{{15}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Rút \(f'\left( x \right)\) từ giả thiết đề bài cho.

- Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \), sử dụng công thức tính nguyên hàm: \(\int {\sqrt x dx}  = \dfrac{2}{3}x\sqrt x  + C\).

- Từ giả thiết \(f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\) tìm hằng số \(C\) và suy ra hàm số \(f\left( x \right)\).

- Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) với hàm \(f\left( x \right)\) vừa tìm được, đưa kết quả về dạng \(\dfrac{{a\sqrt 2  + b}}{{15}}\). Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính tổng \(T = a + b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt x  + \sqrt {x + 1} } \right)f'\left( x \right) = 1\,\,\,\,\forall x \ge  - 1\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x  + \sqrt {x + 1} }}\,\,\,\,\forall x \ge  - 1\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  - \sqrt x \,\,\,\,\forall x \ge  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt {x + 1}  - \sqrt x } \right)dx}  = \dfrac{2}{3}\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  - x\sqrt x } \right) + C\)

Mà \(f\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}\left( {1 - 0} \right) + C = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  - x\sqrt x } \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{2}{3}\int\limits_0^1 {\left( {\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1}  - x\sqrt x } \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{5}\left. {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {x + 1}  - {x^2}\sqrt x } \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{4}{{15}}\left[ {\left( {4\sqrt 2  - 1} \right) - \left( {1 - 0} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{16\sqrt 2  - 8}}{{15}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b =  - 8\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(T = a + b = 16 + \left( { - 8} \right) = 8.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} .\)  

Sử dụng phương pháp tích phân đổi biến.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} {f\left( { - 2x - 1} \right)dx}  + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {f\left( {2x - 1} \right)dx} \)

Đặt \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} {f\left( { - 2x - 1} \right)dx} ;\,\,\,\,{I_2} = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {f\left( {2x - 1} \right)dx} \)

Tính \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} {f\left( { - 2x - 1} \right)dx} \)

Đặt \( - 2x - 1 = t \Rightarrow dt =  - 2dx \Rightarrow dx =  - \dfrac{1}{2}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow t = 3\\x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow {I_1} =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_3^0 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{2}.6 = 3.\)

Tính \({I_2} = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {f\left( {2x + 1} \right)dx} \)

Đặt \(2x - 1 = t \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \dfrac{1}{2}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_2} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{2}.2 = 1.\\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = 3 + 1 = 4.\end{array}\)

Chọn  B.