Phương pháp giải:

Xét các điều kiện có nghiệm của từng hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) phương trình \(\sqrt 3 \sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3  > 1\) (Loại).

+) Phương trình \(\sin 3x + \sqrt 3 {\rm{cos}}3x =  - 4\) có nghiệm khi \({1^2} + 3 \ge {\left( { - 4} \right)^2}\)(vô lí).

+)Phương trình  \(2\cos 3x + 3 = 0 \Leftrightarrow cos3x =  - \dfrac{3}{2} <  - 1\)  (Loại).

Chọn D

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai rồi tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}3{\cos ^2}x + 2\cos x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {3\cos x + 5} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x =  - \dfrac{5}{3}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)

+ Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} < {c^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(12\sin x - 5\cos x = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {12^2} + {5^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 169 \Leftrightarrow  - 13 \le m \le 13\).

Vậy có \(27\) số nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(2\sin x = \sqrt 3  \Leftrightarrow \sin x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi  + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 3 \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(a\sin x+b\cos x=0\Leftrightarrow a\sin x=-b\cos x\Leftrightarrow \tan x=-\dfrac{b}{a}\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin x+\sqrt{3}\cos x=0\Leftrightarrow \sin x=-\sqrt{3}\cos x\Leftrightarrow \tan x=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

\(x > 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi  > 0 \Leftrightarrow k > \dfrac{1}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có \(x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow {{x}_{\min }}\Leftrightarrow {{k}_{\min }}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Leftrightarrow k=1\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x=-\dfrac{\pi }{3}+\pi =\dfrac{2\pi }{3}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(a\sin x+b\cos x=0\Leftrightarrow a\sin x=-b\cos x\Leftrightarrow \tan x=-\dfrac{b}{a}\).

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 3 \cos x - \sin x = 0\).

+ Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=2\).

+ Phương trình \(\Leftrightarrow \sin x=\sqrt{3}\cos x\Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\sin x+\cos x=1\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr
x + {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in } \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai tìm \(\tan x\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2{\tan ^2}x + 5\tan x + 3 = 0\,\,\left( {a - b + c = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\tan x =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc hai tìm \(\cos 2x\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}2x + \cos 2x - \dfrac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x + 4\cos 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x =  - \dfrac{3}{2}\,\,\left( {loai} \right)\\\cos 2x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 2x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhẩm nghiệm \(\left( {a + b + c = 0} \right)\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\,\,\left( {a + b + c = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sin x =  - \dfrac{3}{2}\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - 5\cos x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 5\cos x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 2\,\,\left( {loai} \right)\\\cos x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt{3}\sin x-\cos x=1\).

+ Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}=2\).

+ Phương trình \(\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{6}-\cos x\sin \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{1}{2}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\). Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x = 2\cos x \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x = \cos x\\ \Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi }{3}.\sin 2x + \cos \dfrac{\pi }{3}.\cos 2x = \cos x\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{3} = x + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{3} =  - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{9} + k\dfrac{{2\pi }}{3};\,\,k \in Z\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 1 - 2.1 =  - 1\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

+) Quy về dạng \(\cos (f(x)) = f(m) \Rightarrow  - 1 \le f(m) \le 1\)

+) Giải điều kiện tìm m.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }}\).

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 \le \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }} \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m \ge  - \sqrt 3 \\1 - m \le \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1 + \sqrt 3 \\m \ge 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt 3  \le m \le 1 + \sqrt 3 \,\,\,\left( {m \in Z} \right) \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2} \right\}.\end{array}\)

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số \(m\).

Chọn C

Phương pháp giải:

+) Quy về dạng \(\cos (f(x)) = f(m) \Rightarrow  - 1 \le f(m) \le 1\)

+) Giải điều kiện tìm m.

+) Tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - m = 2 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = m + 2\).

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 \le m + 2 \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\).

Mà \(m \in Z \Rightarrow S = \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\} \Rightarrow T = \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) =  - 6\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức : \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\)

Đặt \(\sin x = t\) quy về phương trình bậc 2 ẩn t.

Lời giải chi tiết:

\(\cos 2x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow  - 2{\sin ^2}x + \sin x = 0\;\;\left( * \right)\)

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow  - 2{t^2} + t = 0\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x\) quy về phương trình bậc 2 ẩn t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x\). Điều kiện \(\left| t \right| \le 1\)

Phương trình trở thành: \({t^2} =  - t + 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1{\rm{   (tm)}}\\t =  - 2{\rm{  (ktm)}}\end{array} \right..\)

Với \(t = 1 \Rightarrow \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{   (k}} \in {\rm{Z)}}{\rm{.}}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

+) Quy về dạng \(\sin \,x = f(m) \Rightarrow  - 1 \le f(m) \le 1\)

+) Giải điều kiện tìm m.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\sin \,x - m = 1 \Leftrightarrow \sin x = m + 1\;\;\left( * \right)\)

Vì \( - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow \) phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 0\).

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì \( - 2 \le m \le 0.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình bằng công thức nghiệm.

+) Từ công thức nghiệm tìm số nguyên k  để tìm nghiệm thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết:

\(\sin 3x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = \pi  - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\)

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;10\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5} \le 10\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{99}}{4} = 24\frac{3}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;...;\;24} \right\}\\0 \le \frac{\pi }{2} + m2\pi  \le 10\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{19}}{4} = 4\frac{3}{4} \Leftrightarrow m \in \left\{ {0;\;1;...;\;4} \right\}\end{array} \right.\)

Phương trình có \(25 + 5 = 30\)  nghiệm thỏa mãn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos \(a\sin x+b\cos x=c\) bằng cách chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên là \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: \(a\sin x+b\cos x=c\) có nghiệm khi và chỉ khi \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \({{1}^{2}}+{{1}^{2}}\ge {{m}^{2}}\Leftrightarrow -\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức: \({\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x = {\rm{cos}}\,{\rm{2}}x.\)

- Giải phương trình lượng giác đặc biệt: \(\cos \alpha  = 1 \Leftrightarrow \alpha  = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\rm{cos}}\,{\rm{2}}x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi } \right\}\). Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình lượng giác: \(a\sin x + b\cos x = c\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Sử dụng công thức \(\sin a\cos b \pm \cos a\sin b = \sin \left( {a \pm b} \right)\), \(\cos a\cos b \pm \sin a\sin b = \cos \left( {a \mp b} \right)\)  đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \) hoặc \(\cos x = \cos \alpha \).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản:

\(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - \sqrt 3 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}.\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) - \sin \dfrac{\pi }{3}.\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a\sin \,x + b\,{\rm{cos}}\,x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(5\sin \,x - 12{\rm{cos}}\,x = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {5^2} + {12^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow \)\( - 13 \le m \le 13\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác có dạng \(a\sin x + b\cos x = c\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Sử dụng công thức \(\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\) đưa về phương trình lượng giác cơ bản \(\sin \alpha  = \sin m\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin \alpha  = \sin m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = m + k2\pi \\\alpha  = \pi  - m + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \sin x - \cos x{\rm{  =  2}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \dfrac{1}{2}\cos x{\rm{ = 1}}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}.\sin x - \sin \dfrac{\pi }{6}.\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình bậc 2 rồi tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(3{\tan ^2}x + \left( {6 - \sqrt 3 } \right)\tan x - 2\sqrt 3  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\\\tan x =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- TH1: \(\cos x = 0\).

- TH2: \(\cos x \ne 0\): Giải phương trình bậc hai đối với \(\sin x,\,\,\cos x\) bằng cách chia cả hai vế cho \({\cos ^2}x\), đưa phương trình về phương trình bậc hai đối với \(\tan x\).

- Điều kiện để phương trình bậc hai vô nghiệm là \(\Delta  < 0\) hoặc \(\Delta ' < 0\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \(m{\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + 3m{\cos ^2}x = 1\)  (*)

TH1: \(\cos x = 0\), phương trình trở thành: \(m = 1\) (luôn đúng).

Khi đó phương trình luôn có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} \right)\) khi \(m = 1\).Loại \(m = 1.\)

TH2: \(\cos x \ne 0\). Phương trình không có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {\,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,m{\tan ^2}x + 2\tan \,x + 3m = 1 + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){\tan ^2}x + 2\tan \,x + 3m - 1 = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Phương trình (**) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' = 1 - \left( {m - 1} \right)\left( {3m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\ - 3{m^2} + 4m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{4}{3}\\m < 0\end{array} \right.\) 

Kết hợp 2 trường hợp ta có: \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{3}; + \infty } \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left( {0;2019} \right)\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {2;3;4;...;2018} \right\}\).

Vậy có 2017 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn: A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}x - 3\sin x.\cos x =  - 1\)

+Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x =  - 1(L)\)

+Xét \(\cos x \ne 0\). Chia 2 vế cho \({\cos ^2}x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x = \frac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}} =  - 1\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \frac{1}{2}\\\tan x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x = 3\sin x.\cos x\)

+Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}x = 0 \Rightarrow x = 0\)

+Xét \(\cos x \ne 0\). Chia 2 vế cho \({\cos ^2}x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\tan ^2}x + 2 - 3\tan x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 2\\\tan x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan 2 + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(2\sin 2x\cos 2x + \sqrt 3 \cos 4x + \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow \sin 4x + \sqrt 3 .\cos 4x =  - \sqrt 2 \)

Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}.\sin 4x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.cos4x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{3} = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{{7\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{11\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

KL: \(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{{11\pi }}{{48}} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2\), ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sin x = \cos 3x \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos 3x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{3} = 3x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{3} =  - 3x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} - k\pi \\x =- \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

KL: \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{6} - k\pi ;-\frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\) .

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(m\sin x + 3\cos x = 2m\)có nghiệm \( \Leftrightarrow {m^2} + {3^2} \ge {\left( {2m} \right)^2}\).

\( \Leftrightarrow 3{m^2} \le 9 \Leftrightarrow {m^2} \le 3 \Leftrightarrow  - \sqrt 3  \le m \le \sqrt 3 \).

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(2\tan x + \cot x - 3 = 0\)   (ĐK: \(x \ne k\pi ;\,\,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)).

Đặt \(\tan x = t \to 2t + \dfrac{1}{t} - 3 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(2\sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Các điểm biểu diễn hai họ nghiệm trên là điểm \(C\) và điểm \(D\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Giải phương trình trùng phương đối với một hàm số lượng giác, sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x - 7 = 0 \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 12\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 7 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x - 12{\sin ^2}x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = \dfrac{5}{2}\,\,\left( {loai} \right)\\{\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

- Giải phương trình bậc hai đối với \(t\), sau đó tìm nghiệm \(x\).

- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đề bài cho.

Lời giải chi tiết:

\(1 + \sin x - \cos x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 1 + \sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0\).

Đặt \(t = \sin x - \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành: \(1 + t + 1 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Với \(t =  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin x - \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét họ nghiệm \(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(0 \le k2\pi  < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le k < \dfrac{1}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 0\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(0 \le \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi  < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{3}{2} + 2k < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4} \le k <  - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \emptyset \).

Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm \(x\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {\sin 2x + 1} \right) + \sin x + \cos x =  - \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - \sqrt 2 \left( {2\sin x\cos x + 1} \right) + \sin x + \cos x =  - \sqrt 2 \end{array}\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} - \sqrt 2 \left( {{t^2} - 1 + 1} \right) + t = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt 2 } \right){t^2} + t + \sqrt 2  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 2 + \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Khi \(t =  - 1 \Rightarrow \sin x + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D