Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y = \frac{{2x - 2}}{3} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\)  là hàm số bậc nhất nên A đúng.

Chọn A

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)x + m - 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1.\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 2018;\,\,2018} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;......;\,\,2018} \right\} \Rightarrow \)  có \(2019\)  giá trị nguyên của \(m.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm A vào hàm số và tìm giá trị của m.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Điểm \(A\left( {1;\,\,2} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) khi và chỉ khi \(2 = 2m.1 - m - 1 \Leftrightarrow m = 3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến trên \(R \Leftrightarrow a > 0\).

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi hệ số góc \(k = {m^2} - m > 0\).

Giải bất phương trình \({m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m < 0 \hfill \cr   m > 1 \hfill \cr}  \right.\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm \(A,B\) vào công thức hàm số và tìm \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

Thay \(x = 0,y =  - 3\) ta được \( - 3 = a.0 + b \Leftrightarrow b =  - 3\).

Thay \(x =  - 1,y =  - 5\) ta được \( - 5 = a.\left( { - 1} \right) + b\).

Thay \(b =  - 3\) ta được \( - 5 =  - a - 3 \Leftrightarrow a = 2\).

Vậy \(a = 2,b =  - 3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = ax + b\) dồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a > 0\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \left( {4 - {m^2}} \right)x + 2\) đồng biến nếu \(4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow {m^2} < 4\) \( \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\), có \(3\) giá trị của \(m\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, nhận xét các giao điểm mà đồ thị hàm số cắt các trục hoành và trục tung. Từ đó nhận xét dấu của \(a,\,\,b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có đố thị hàm số \(y = ax + b\) cắt \(Ox\) tại điểm \(\left( { - \frac{b}{a};\,\,0} \right)\) và cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;\,\,b} \right).\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm

\( \Rightarrow b < 0.\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm \( \Rightarrow  - \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow \frac{b}{a} > 0\)

Mà \(b < 0 \Rightarrow a < 0.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(\left( {1;3} \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào công thức hàm số và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Với \(x = 0\) thì \(y = x + 1 = 1.\) Vậy hàm số đi qua điểm \(\left( {0;1} \right).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào BBT, nhận xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số rồi chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số cần tìm nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

\( \Rightarrow \) loại đáp án A và B.

Hàm số \(y = 2018x - 2019\) có \(a = 2018 > 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

\( \Rightarrow \) loại đáp án C.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\)  nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(a < 0.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m - 1} \right)x + m + 2\)  nghịch biến trên  \(\mathbb{R} \Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = ax + b\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x + m - 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc vào đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử hàm số cần tìm có dạng \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta nhận thấy đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(\left( {0; - 2} \right){\rm{, }}\left( {1;0} \right)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 = b}\\{0 = a + b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2x - 2.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = 3x + 5 > 0 \Leftrightarrow 3x >  - 5 \Leftrightarrow x >  - \frac{5}{3}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm vào hàm số. Nếu thỏa mãn thì điểm thuộc đồ thị và ngược lại

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A : \( - 4.1 + 6 = 2 \Rightarrow N\left( {1;\;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

+) Đáp án B : \(2 \ne  - 4.2 + 6 \Rightarrow M\left( {2;2} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 4x + 6\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\):

+) Nếu \(a > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên tập xác định.

+) Nếu \(a < 0 \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \left( {2 - 3m} \right)x + m + 1\) nghịch biến trên tập xác định của nó \( \Leftrightarrow 2 - 3m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} + ){\rm{ }}d//d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b \ne b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b = b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \cap d' = \left\{ I \right\} \Leftrightarrow a \ne a'\\ + ){\rm{ }}d \bot d' \Leftrightarrow a.a' =  - 1\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,y = x + 100;\,\,\,{d_2}:\,\,y = \frac{1}{2}x + 100\) có: \({a_1} = 1 \ne {a_2} = \frac{1}{2}\) và \({a_1}.{a_2} = 1.\frac{1}{2} \ne 1 \Rightarrow {d_1},\,\,{d_2}\) cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Chọn B

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b.\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a + b = 2}\\{3a + b = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a =  - 1\\b = a + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{1}{4}}\\{b = \frac{7}{4}}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow y =  - \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}.\)

Chọn  A

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} + ){\rm{ }}d//d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b \ne b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b = b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \cap d' = \left\{ I \right\} \Leftrightarrow a \ne a'\\ + ){\rm{ }}d \bot d' \Leftrightarrow a.a' =  - 1\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(y = 3x + 1\) song song với đường thẳng \(y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + \left( {m - 1} \right)\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 1 = 3}\\{m - 1 \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 2.\)

Chọn  C

Phương pháp giải:

Ba đường thẳng đồng quy khi chúng cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\): \(x + 1 = 3x - 1 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1 + 1 = 2.\)

Vậy \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại \(I\left( {1;2} \right).\)

\( \Rightarrow {d_1},\,{d_2},\,{d_3}\)  đồng quy  \( \Leftrightarrow I \in {d_3} \Rightarrow 2 = 2m.1 - 4m \Leftrightarrow m =  - 1.\)

Chọn  B

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số, chỉ ra những điểm mà dò thị hàm số đi qua, thay các giá trị vào các hàm số đã có và đưa ra kết quả.

Lời giải chi tiết:

Từ đồ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( { - 3;0} \right)\).

Khi \(x = 2 \ge 1 \Rightarrow y = 0.\)

Khi \(x = 0 < 1 \Rightarrow y =  - 3.\)

Ta thấy hàm số \(y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2{\rm{\,\,\,\, khi \,\,\,\,}}x \ge 1}\\{2x - 3{\rm{ \,\,\,\,khi\,\,\,\, }}x < 1}\end{array}} \right.\)  thoả mãn.

Chọn  B

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng biến thiên, quan sát hình dạng đồ thị, điểm mà đồ thị hàm số đi qua, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số để đưa ra phương án đúng.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành \(Ox\) nên loại trừ các đáp án, ta chọn B.            

Chọn  B

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\)đi qua điểm \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b\)

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} + ){\rm{ }}d//d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b \ne b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = a'}\\{b = b'}\end{array}} \right.\\ + ){\rm{ }}d \cap d' = \left\{ I \right\} \Leftrightarrow a \ne a'\\ + ){\rm{ }}d \bot d' \Leftrightarrow a.a' =  - 1\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(N\left( {4; - 1} \right)\) nên \( - 1 = a.4 + b \Leftrightarrow 4a + b =  - 1\,\,\,\,{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng \(4x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = 4x + 1 \Rightarrow 4.a =  - 1\,\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\) 

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ sau:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + b =  - 1}\\{4a =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{1}{4}}\\{b = 0}\end{array} \Rightarrow P = ab = 0} \right.} \right.\)

Chọn  A

Phương pháp giải:

Vẽ đồ thị hàm số \(y =  - \frac{x}{2} + 2\)

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y =  - \frac{x}{2} + 2\) đi qua 2 điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {4;0} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ hai điểm vào phương trình đường thẳng để tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A(1;2)\) và \(B( - 2;4)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = a + b\\4 =  - 2a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{3}\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành) \( \Leftrightarrow {y_A} > 0\).

Lời giải chi tiết:

Do điểm A thuộc đồ thị hàm số \(y = mx + 2m - 3 \Rightarrow {y_A} = m + 2m - 3 = 3m - 3\).

Điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành)

\( \Leftrightarrow {y_A} > 0 \Leftrightarrow 3m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).

Chọn đáp án D.

Phương pháp giải:

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là hàm tăng.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = x\) có \(a = 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(R \Rightarrow \) Hàm số tăng trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

+) Xét tính chẵn lẻ của hàm số.

+) Tìm GTNN, GTLN của hàm số (nếu có).

+) Phá trị tuyệt đối và nhận xét tính đơn điệu của hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = R \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(y\left( { - x} \right) = \left| { - x - 3} \right| = \left| {x + 3} \right| \Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne  \pm y\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số không chẵn, không lẻ \( \Rightarrow A\) sai.

+) \(y = \left| {x - 3} \right| = \left[ \begin{array}{l}x - 3\,\,khi\,\,x \ge 3\\ - x + 3\,\,khi\,\,x < 3\end{array} \right.\). Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\). Do đó đáp án B và D sai.

+) \(y = \left| {x - 3} \right| \ge 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(y = 0\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ giao điểm M của d₁ và d₂.

+) Tìm điều kiện của m để \(M \in {d_3}\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng d₁ và d₂ ta có:

\(x + 1 = 3x - 1 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\)

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình đường thẳng d₁ ta có : \(y = 1 + 1 = 2\)

\( \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = M\left( {1;2} \right)\).

Để 3 đường thẳng \({d_1};\,\,{d_2};\,\,{d_3}\) đồng quy \( \Rightarrow M \in {d_3} \Rightarrow 2 = 2m - 4m \Leftrightarrow 2 =  - 2m \Leftrightarrow m =  - 1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình với 2 phương trình là phương trình đường thẳng (d₁) và (d₂).

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d₁) và (d₂) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 3x\\y = x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x\\3x = x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x\\x =  - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2}\\y =  - \frac{9}{2}\end{array} \right.\)

Chọn: D

Phương pháp giải:

\(y = \left| A \right| = \left[ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {2x + 10} \right| = 2x + 10\) khi \(2x + 10 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 5\)

\(\left| {2x + 10} \right| =  - \left( {2x + 10} \right) =  - 2x - 10\) khi \(2x + 10 < 0 \Leftrightarrow x <  - 5\).

Vậy \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 10,...x \ge  - 5\\ - 2x - 10,...x <  - 5\end{array} \right.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số để được hệ phương trình tìm a, b.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = ax + b,\)biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\) và \(B\left( { - 1;5} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = a + b\\5 =  - a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b = 1\end{array} \right.\)

Vậy hàm số đó là: \(y =  - 4x + 1\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(d \cap d' = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm \(I\)  là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = ax + b}\\{y = a'x + b'}\end{array}} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của \(\Delta \) với trục hoành \(Ox,\)  trục tung \(Oy\)  lần lượt là \(A\left( {1;0} \right)\) và \(B\left( {0; - 1} \right).\)

Khi đó \(\Delta \) tạo với hai trục tọa độ \(\Delta AOB\) vuông tại \(O.\)

\( \Rightarrow OA = 1,{\rm{ }}OB = \left| { - 1} \right| = 1 \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\) 

Chọn  A

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(d \cap d' = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm \(I\)  là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = ax + b}\\{y = a'x + b'}\end{array}} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với  \(x =  - 2\)  thay vào \(y = 2x + 5,\) ta được \(y = 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 1.\)

Đồ thị hàm số cần tìm cắt đường thẳng \({\Delta _1}\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 2\) nên đi qua điểm \(A\left( { - 2;1} \right).\)

Do đó ta có:  \(1 = a.\left( { - 2} \right) + b\, \Leftrightarrow 2a - b =  - 1\,\,\,\,\,{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Với \(y =  - 2\) thay vào \(y =  - 3x + 4,\) ta được \( - 2 =  - 3x + 4 \Leftrightarrow x = 2.\)

Đồ thị hàm số cần tìm cắt đường thẳng \(y =  - 3x + 4\) tại điểm có tung độ bằng \( - 2\) nên đi qua điểm \(B\left( {2; - 2} \right).\)

Do đó ta có: \( - 2 = a.2 + b \Leftrightarrow 2a + b =  - 2\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2a - b =  - 1\\2a + b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a =  - 3\\b = 2a + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - \frac{3}{4}}\\{b =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow y =  - \frac{3}{4}x - \frac{1}{2}.\) 

Chọn  C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;6} \right) \Rightarrow \frac{{ - 1}}{a} + \frac{6}{b} = 1.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta có \(d \cap Ox = A\left( {a;\,\,0} \right);{\rm{ }}d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \left| a \right| = a\\OB = \left| b \right| = b\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {A \in Ox,\,\,\,B \in Oy} \right).\)

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{1}{a} + \frac{6}{b} = 1}\\{\frac{1}{2}ab = 4}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6a - b - ab = 0}\\{ab = 8}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6a - b - 8 = 0}\\{ab = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 6a - 8}\\{a\left( {6a - 8} \right) - 8 = 0}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\6{a^2} - 8a - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 6a - 8}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{a =  - \frac{2}{3}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{3}\\b =  - 12\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)

Vì \(A \in \,\,tia\,\,\,Ox \Rightarrow a > 0 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = 4.\)

\( \Rightarrow S = a + 2b = 2 + 2.4 = 12.\)  

Chọn  D

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) nếu \({y_0} = a{x_0} + b.\)

Cho hai đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d:y = ax + b}\\{d':y = a'x + b'}\end{array}} \right.\)

\(d \cap d' = \left\{ I \right\} \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm \(I\)  là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = ax + b}\\{y = a'x + b'}\end{array}} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua điểm \(I\left( {1;3} \right) \Rightarrow 3 = a + b \Leftrightarrow a + b = 3\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(d \cap Ox = A\left( { - \frac{b}{a};0} \right){\rm{ ; }}d \cap Oy = B\left( {0;b} \right).\)

Lại có \(A \in \,\,tia\,\,\,Ox,\,\,\,B \in tia\,\,\,Oy \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{a} > 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \left| { - \frac{b}{a}} \right| =  - \frac{b}{a}\\OB = \left| b \right| = b\end{array} \right..\) 

Gọi \(H\)  là hình chiếu vuông góc của \(O\)  lên đường thẳng  \(d \Rightarrow OH = \sqrt 5 .\)

Xét tam giác vuông \(AOB\) vuông tại \(O\), có đường cao \(OH\) nên ta có

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{5} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 5{a^2} + 5\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = 3 - a.\)  Thay vào \(\left( 2 \right)\), ta được:

\({\left( {3 - a} \right)^2} = 5{a^2} + 5 \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 5{a^2} + 5 \Leftrightarrow 4{a^2} + 6a - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 2}\\{a = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)  

+ Với \(a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{5}{2} \Rightarrow OA = \left| { - \frac{b}{a}} \right| =  - \frac{b}{a} =  - 5 < 0:\) loại

+ Với \(a =  - 2 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow OA = \frac{2}{5}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(d:y =  - 2x + 5.\)

Chọn  D

Phương pháp giải:

Ba đường thẳng phân biệt đồng quy nếu chúng cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có ba đường thẳng: \(y =  - 5\left( {x + 1} \right);\,\,\,y = mx + 3;\,\,\,y = 3x + m\) không trùng nhau \( \Leftrightarrow m \ne 3.\)

Toạ độ giao điểm \(B\) của hai đường thẳng \(y = mx + 3\) và \(y = 3x + m\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = mx + 3}\\{y = 3x + m}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)x + 3 - m = 0\\y = 3x + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 3 + m}\end{array} \Rightarrow } \right.} \right.B\left( {1;\,\,m + 3} \right).\)

Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng \(y =  - 5\left( {x + 1} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {1;\,\,m + 3} \right)\) \( \Rightarrow m + 3 =  - 5\left( {1 + 1} \right) \Leftrightarrow m + 3 =  - 10 \Leftrightarrow m =  - 13\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Số giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}} = \frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} - \left| {x - 2} \right|\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}} = \frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} - \left| {x - 2} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + 3{\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 2}\\{x - 1{\rm{ }}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\, - 2 \le x < 2}\\{x - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ khi }}\,\,\,x <  - 2}\end{array}} \right.\)

Đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị hàm số ở trên, ta thấy để đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}} - \left| {x - 2} \right|\) tại hai điểm phân biệt thì \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m >  - 3\end{array} \right..\)

Chọn  B

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) và đoạn \(\left[ {\alpha ;\beta } \right] \subset \mathbb{R}.\) Khi đó đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\alpha ;\beta } \right]\) là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:  \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( \alpha  \right);f\left( \beta  \right)} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( \alpha  \right);f\left( \beta  \right)} \right\}\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {f\left( \alpha  \right)} \right|;\left| {f\left( \beta  \right)} \right|} \right\}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = 2x - m\) có \(a = 2 \Rightarrow y = 2x - m\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\\\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Đặt \(M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \ge f\left( 1 \right) = \left| {2 - m} \right|\\M \ge f\left( 2 \right) = \left| {4 - m} \right|\end{array} \right..\) 

\(M \ge  \Rightarrow \frac{{f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right)}}{2} = \frac{{\left| {2 - m} \right| + \left| {4 - m} \right|}}{2} \ge \frac{{\left| {\left( {2 - m} \right) + \left( {m - 4} \right)} \right|}}{2} = 1.\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2 - m} \right| = \left| {4 - m} \right|}\\{\left( {2 - m} \right)\left( {4 - m} \right) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2 - m = 4 - m\\2 - m =  - 4 + m\end{array} \right.\\2 \le m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\2 \le m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3} \right..\)

Vậy GTNN của \(M\) là 1 khi và chỉ khi \(m = 3.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Lập hệ phương trình tìm đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {m;0} \right),B\left( {0;n} \right)\), vì \(\Delta AOB\) cân nên \(OA = OB\)\( \Rightarrow \left| m \right| = \left| n \right|\,\,\,\,\left( {m,n \ne 0} \right).\)

Đồ thị hàm số đi qua \(M\left( {2;1} \right) \Rightarrow 1 = 2a + b.\)

Đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {m;0} \right) \Rightarrow 0 = am + b.\)

Đồ thị hàm số đi qua \(B\left( {0;n} \right) \Rightarrow n = a.0 + b = b.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 2a + n\\0 = am + n\end{array} \right..\)

Với \(m = n \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 2a + n\\0 = an + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\n\left( {a + 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\\left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\n = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = n = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow y =  - x + 3.\)

Với \(m =  - n \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 2a + n\\0 =  - an + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\n\left( {1 - a} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\\left[ \begin{array}{l}n = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\n =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\n = b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow y = x - 1.\)

Chọn B.