40 bài tập trắc nghiệm giới hạn dãy số

Làm bài

Câu hỏi 1 :

 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

  • A \({{u}_{n}}={{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{n}}\)             
  • B  \({{u}_{n}}={{\left( \frac{6}{5} \right)}^{n}}\)                            
  • C \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{3}}-3n}{n+1}\)                        
  • D  \({{u}_{n}}={{n}^{2}}-4n\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Tính \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\) hoặc \(\underset{n\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta thấy \(-\frac{2}{3}<0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( -\frac{2}{3} \right)}^{n}}=0\).

Chọn A.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tính giới hạn \(I = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\)

  • A  \(I = \dfrac{1}{2}\)  
  • B \(I =  + \infty \)
  • C \(I=2\)
  • D \(I=1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính như \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}}\): Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu

Lời giải chi tiết:

\(I = \lim \dfrac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{2 + \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \lim \dfrac{2}{1} = 2\)

 

Chọn đáp án C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

 Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{2}}}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?

  • A \(1.\)                                       
  • B  \(-\frac{1}{4}.\)                                 
  • C  \(\frac{4}{5}.\)                                               
  • D

     \(-\frac{3}{4}.\)


Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{n}^{2}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{2}}}=\lim \frac{1-\frac{3}{n}}{\frac{1}{{{n}^{2}}}-4}=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{3}}}\).  Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?

  • A \(0.\)                                       
  • B  \(-\frac{1}{4}.\)                                 
  • C \(\frac{3}{4}.\)                                             
  • D    \(-\frac{3}{4}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{n}^{3}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{n}^{2}}-3n}{1-4{{n}^{3}}}=\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{3}{{{n}^{2}}}}{\frac{1}{{{n}^{3}}}-4}=\frac{0}{-4}=0.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho \({{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{5}^{n}}}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?

  • A  \(0.\)                                       
  • B \(1.\)                                      
  • C   \(\frac{3}{5}.\)                                            
  • D    \(+\infty .\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{5}^{n}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{{{3}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{5}^{n}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{n}}+1}{1}=\frac{1}{1}=1.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

 Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng -1?

  • A  \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{3}}-4}.\)                      
  • B  \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{2}}-1}.\)                
  • C \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{2{{n}^{2}}+1}.\)                       
  • D \(\lim \frac{2{{n}^{3}}-3}{2{{n}^{2}}-1}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho bậc cao nhất của tử và mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & \lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{3}}-4}=\lim \frac{\frac{2}{n}-\frac{3}{{{n}^{3}}}}{-2-\frac{4}{{{n}^{3}}}}=\frac{0}{-2}=0. \\ & \lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{-2{{n}^{2}}-1}=\lim \frac{2-\frac{3}{{{n}^{2}}}}{-2-\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{2}{-2}=-1. \\ & \lim \frac{2{{n}^{2}}-3}{2{{n}^{2}}+1}=\lim \frac{2-\frac{3}{{{n}^{2}}}}{2+\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\frac{2}{2}=1. \\ & \lim \frac{2{{n}^{3}}-3}{2{{n}^{2}}-1}=\lim \frac{2-\frac{3}{{{n}^{3}}}}{\frac{2}{n}-\frac{1}{{{n}^{3}}}}=+\infty . \\\end{align}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng \(+\infty \)?

  • A  \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}-2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)                     
  • B  \({{u}_{n}}=\frac{1+{{n}^{2}}}{5n+5}.\)                  
  • C \({{u}_{n}}=\frac{1+2n}{5n+5{{n}^{2}}}.\)                       
  • D

     \({{u}_{n}}=\frac{1-{{n}^{2}}}{5n+5}.\)


Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{n}^{2}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & \lim \frac{{{n}^{2}}-2n}{5n+5{{n}^{2}}}=\lim \frac{1-\frac{2}{n}}{\frac{5}{n}+5}=\frac{1}{5}. \\ & \lim \frac{1+{{n}^{2}}}{5n+5}=\lim \frac{\frac{1}{{{n}^{2}}}+1}{\frac{5}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}}}=+\infty . \\ & \lim \frac{1+2n}{5n+5{{n}^{2}}}=\lim \frac{\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{2}{n}}{\frac{5}{n}+5}=\frac{0}{5}=0. \\ & \lim \frac{1-{{n}^{2}}}{5n+5}=\lim \frac{\frac{1}{{{n}^{2}}}-1}{\frac{5}{n}+\frac{5}{{{n}^{2}}}}=-\infty . \\\end{align}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tính giới hạn \(I=\lim \frac{5n+2017}{2n+2018}.\)

  • A \(I=\frac{5}{2}\)                                
  • B  \(I=\frac{2}{5}\)                               
  • C  \(I=\frac{2017}{2018}\)                               
  • D  \(I=1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(I=\lim \frac{5n+2017}{2n+2018}=\lim \frac{5+\frac{2017}{n}}{2+\frac{2018}{n}}=\frac{5}{2}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

 Tính \(\lim \dfrac{8n-1}{\sqrt{4{{n}^{2}}+n+1}}.\)

  • A \(2.\)    
  • B \(+\,\infty .\)    
  • C  \(-\,1.\) 
  • D \(4.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu số hoặc bấm máy tính casio

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\lim \dfrac{8n-1}{\sqrt{4{{n}^{2}}+n+1}}=\lim \dfrac{n\left( 8-\dfrac{1}{n} \right)}{\left| n \right|\sqrt{4+\dfrac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}}}}=\lim \dfrac{8-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}}=4.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn \(\lim {{n}^{k}}\)là

  • A  n.                                           
  • B  0.                                           
  • C  \(+\infty \).                             
  • D   \(-\infty \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(\lim {{n}^{k}}=+\infty ,\,\,k\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\)

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

\(\lim \frac{1}{{5n + 2}}\) bằng

  • A \(\frac{1}{5}.\)
  • B 0.
  • C \(\frac{1}{2}.\)
  • D \( + \infty .\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào giới hạn của dãy số để tính.

Lời giải chi tiết:

\(\lim \frac{1}{{5n + 2}} = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Tìm \(I = \lim \dfrac{{3n - 2}}{{n + 1}}\)

  • A \(I =  - 3\)
  • B \(I =  - 2\)
  • C \(I = 2\)
  • D \(I = 3\)  

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Ta sử dụng cách tìm giới hạn của dãy số: Chia cả tử và mẫu của biểu thức lấy giới hạn cho \(n.\) Sau đó áp dụng các công thức \(\lim \left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = \lim f\left( x \right) \pm g\left( x \right);\,\lim \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \dfrac{{\lim \,f\left( x \right)}}{{\lim \,g\left( x \right)}}\,\,;\,\,\left( {\lim \,g\left( x \right) \ne 0} \right)\)  với điều kiện các giới hạn tồn tại hữu hạn.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(I = \lim \dfrac{{3n - 2}}{{n + 1}} = \lim \dfrac{{\dfrac{{3n}}{n} - \dfrac{2}{n}}}{{\dfrac{n}{n} + \dfrac{1}{n}}} = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{n}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{3}{1} = 3\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Giá trị của \(D = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}\) bằng:

  • A \( + \infty \)      
  • B \( - \infty \)            
  • C \(0\)
  • D \(1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\)  ta chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

Chú ý:  \(\left[ \begin{array}{l}\lim \frac{0}{a} = 0\\\lim \frac{a}{0} = \infty \end{array} \right.\) (a là số bất kì, \(a \in R\))

Lời giải chi tiết:

\(D = \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = \frac{{0 + 0 + 0}}{{1 + 0 + 0}} = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Giá trị của \(B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1}  - n} \right)\) bằng:

  • A \( + \infty \)                
  • B \( - \infty \)                
  • C \(0\)
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\lim \,\,{u_n} =  + \infty \\\lim \,\,{v_n} = a > 0\end{array} \right. \Rightarrow \lim \,\,\left( {{u_n}.{v_n}} \right) =  + \infty \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \dfrac{1}{n^2}}  - 1} \right) =  + \infty \) do \(\lim \,\,n =  + \infty \) và \(\lim \left( {\sqrt {2 + \dfrac{1}{n^2}}  - 1} \right) = \sqrt 2  - 1 > 0\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + \left( {n - 1} \right) + n}}{{{n^2}}}\) bằng

  • A \( + \infty \)   
  • B \(1\)
  • C \(0\)
  • D \(\frac{1}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{1 + 2 + 3 + .... + \left( {n - 1} \right) + n}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}{{{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{n^2} + n}}{{2{n^2}}} = \frac{1}{2}.\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A \(\lim {\left( { - \sqrt 3 } \right)^{2n}} =  - \infty .\)
  • B \(\lim {\left( {\sqrt 2 } \right)^n} =  + \infty .\)
  • C \(\lim {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^n} = 0.\)
  • D \(\lim {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^n} = 0.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Khẳng định sai là A vì \(\lim {\left( { - \sqrt 3 } \right)^{2n}} =  + \infty .\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) =  - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 7\). Khi đó \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]\).

  • A \(I = 23\)                              
  • B \(I = 19\)                                
  • C \(I =  - 19\)                             
  • D \(I =  - 23\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {af\left( b \right) + bg\left( x \right)} \right] = a\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) + b\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) =  - 2 - 3.7 =  - 23\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

  • A \({\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^n}\)
  • B \(\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)
  • C \(\dfrac{1}{{2n}}\)
  • D \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\lim {q^n} = 0\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(\lim {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^n} = 0,\,\,\lim \dfrac{1}{{2n}} = 0,\,\,\lim {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} = 0\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right);\,\,\left( {{v_n}} \right)\)  biết \({u_n} = \dfrac{{2n + 1}}{{n + 2}};\,\,{v_n} = \dfrac{{3n - 2}}{{ - n + 3}}\). Tính giới hạn \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\)?

  • A \(2\)
  • B \( - 3\)
  • C \( - 1\)
  • D \(5\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \(n\) với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim \left( {\dfrac{{2n + 1}}{{n + 2}} + \dfrac{{3n - 2}}{{ - n + 3}}} \right)\\ = \lim \dfrac{{ - 2{n^2} + 6n - n + 3 + 3{n^2} - 2n + 6n - 4}}{{ - {n^2} + 3n - 2n + 6}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} + 9n - 1}}{{ - {n^2} + n + 6}} = \lim \dfrac{{1 + \dfrac{9}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{ - 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{6}{{{n^2}}}}} =  - 1\end{array}\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn \(\lim {u_n} = 1\). Tính \(\lim \left( {{u_n} - 1} \right)\).

  • A \(2001\)
  • B \(2000\)
  • C \(0\)
  • D Không tồn tại giới hạn

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(\lim {u_n} = 1 \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tính giá trị \(\mathop {\lim \left( {1 - 2n} \right)}\limits_{} \sqrt {\frac{{n + 3}}{{{n^3} + n + 1}}} \)  bằng?

  • A \(0\)
  • B \(-2\)
  • C \( - \infty \)                   
  • D \( + \infty \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đưa \((2n - 1)\) vào trong dấu căn sau đó áp dụng các quy tắc tính giới hạn của dãy số để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim \left( {1 - 2n} \right)}\limits_{} \sqrt {\frac{{n + 3}}{{{n^3} + n + 1}}}  =  - \mathop {\lim }\limits_{} \sqrt {\frac{{\left( {n + 3} \right){{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}{{{n^3} + n + 1}}}  =  - \mathop {\lim }\limits_{} \sqrt {\frac{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right){{\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}}  =  - 2\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Biết \(\lim \dfrac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \dfrac{a}{b}\) ( a, b là hai số tự nhiên và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Giá trị của \(a + b\) bằng

  • A \(3.\)
  • B \(\dfrac{1}{3}.\)
  • C \(0.\)
  • D \(4.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \({3^{n + 1}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim \dfrac{{1 + {3^n}}}{{{3^{n + 1}}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1}}}} + \dfrac{1}{3}}}{1} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1 + 3 = 4\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai ?

  • A \(\lim {u_n} = c\) (\({u_n} = c\) là hằng số) 
  • B \(\lim {q^n} = 0{\text{ }}\left( {\left| q \right| > 1} \right)\)
  • C \(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0{\text{ }}\left( {k > 1} \right)\) 
  • D \(\lim \dfrac{1}{n} = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương pháp: Xem mục 2. Một vài giới hạn đặc biệt (SGK Toán 11 trang 114)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\lim \dfrac{1}{n} = 0\\\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\\{u_n} = c \Rightarrow \lim {u_n} = c\\\lim {q^n} = 0\,\left( {{\rm{khi }}\left| q \right| < 1} \right)\end{array}\)

Chọn đáp án B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Giới hạn \(\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}-3n-5}-\sqrt{9{{n}^{2}}+3}}{2n-1}\)bằng?

  • A  \(\frac{5}{2}.\)                                              
  • B  \(\frac{-5}{2}.\)                                
  • C  \(1.\)                                               
  • D  \(-1.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Nhân liên hợp,

- Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{n}^{2}}\).

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{array}{l}
\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} }}{{2n - 1}} = \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} - \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n - 1)}}\\
= \lim \frac{{({n^2} - 3n - 5) - (9{n^2} + 3)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n - 1)}} = \lim \frac{{ - 8{n^2} - 3n - 8}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n - 5} + \sqrt {9{n^2} + 3} } \right).(2n - 1)}}\\
= \lim \frac{{ - 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{{{n^2}}}}}{{\left( {\sqrt {1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{{{n^2}}}} + \sqrt {9 + \frac{3}{{{n^2}}}} } \right)\left( {2 - \frac{1}{n}} \right)}} = \frac{{ - 8}}{{4.2}} = - 1.
\end{array}\)

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

\(\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}-3n-5}-\sqrt{9{{n}^{2}}+3}}{2n-1}=\lim \frac{\sqrt{1-\frac{3}{n}-\frac{5}{{{n}^{2}}}}-\sqrt{9+\frac{3}{{{n}^{2}}}}}{2-\frac{1}{n}}=\lim \frac{1-3}{2}=-1\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Giới hạn \(\lim \frac{{{\left( 2-5n \right)}^{3}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{2-25{{n}^{5}}}\)bằng?

  • A \(-4.\)                         
  • B  \(-1.\)                                     
  • C \(5.\)                                      
  • D  \(-\frac{3}{2}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{n}^{5}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim \frac{{{(2-5n)}^{3}}{{(n+1)}^{2}}}{2-25{{n}^{5}}}=\lim \frac{\frac{{{(2-5n)}^{3}}}{{{n}^{3}}}.\frac{{{(n+1)}^{2}}}{{{n}^{2}}}}{\frac{2-25{{n}^{5}}}{{{n}^{5}}}}=\lim \frac{{{\left( \frac{2}{n}-5 \right)}^{3}}.{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{2}}}{\frac{2}{{{n}^{5}}}-25}=\frac{{{(-5)}^{3}}{{.1}^{2}}}{-25}=5\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

 Giới hạn \(\lim \frac{2{{n}^{2}}-n+4}{\sqrt{2{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1}}\)bằng?

  • A \(1.\)                                       
  • B  \(\sqrt{2}.\)                                        
  • C \(2.\)                                        
  • D \(\frac{1}{\sqrt{2}}.\) 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{n}^{2}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim \frac{2{{n}^{2}}-n+4}{\sqrt{2{{n}^{4}}-{{n}^{2}}+1}}=\lim \frac{2-\frac{1}{n}+\frac{4}{{{n}^{2}}}}{\sqrt{2-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{1}{{{n}^{4}}}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Giới hạn \(\lim \dfrac{{{2}^{n+1}}-{{3.5}^{n}}+5}{{{3.2}^{n}}+{{9.5}^{n}}}\)bằng?

  • A \(1.\)                            
  • B \(\frac{2}{3}.\)                                              
  • C  \(-1.\)                          
  • D \(-\frac{1}{3}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Chia cả tử mẫu của phân thức cho \({{5}^{n}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim \dfrac{{{2}^{n+1}}-{{3.5}^{n}}+5}{{{3.2}^{n}}+{{9.5}^{n}}}=\lim \dfrac{{{2.2}^{n}}-{{3.5}^{n}}+5}{{{3.2}^{n}}+{{9.5}^{n}}}\)

\(=\lim \dfrac{2.{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{n}}-3+5.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}}}{3.{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n}}+9}=\dfrac{-3}{9}=-\dfrac{1}{3}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Biết dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{u_n}} \right| \le \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}},\,\,\forall n \ge 1\). Khi đó \(\lim {u_n}\)  bằng:

  • A \(1\)
  • B \( - \infty \) 
  • C \(0\)
  • D \( + \infty \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\({a_n} \le {u_n} \le {b_n},\lim {a_n} = \lim {b_n} = c \Leftrightarrow \lim {u_n} = c\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| {{u_n}} \right| \le \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}},\,\,\forall n \ge 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {{u_n}} \right| \le \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}},\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow 0 \le \lim {u_n} \le \lim \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}}\)

Sử dụng MTC, nhập \(\dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}}\) : , nhấn phím [CALC], chọn \(x = {10^{10}}\) ta được  \( \Rightarrow \lim \dfrac{{n + 2}}{{{n^2}}} = 0\)

\( \Rightarrow 0 \le \lim {u_n} \le 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

 Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{n}}=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}\). Tính \(\lim {{u}_{n}}\).

  • A \(\frac{1}{2}\)                                    
  • B 0                        
  • C 1
  • D \(\frac{1}{4}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Rút gọn dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) , tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\)

- Tính \(\lim {{u}_{n}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({{u}_{n}}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)\)

Do đó:

\(\lim {{u}_{n}}=\lim \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)=\frac{1}{2}.\left( 1-0 \right)=\frac{1}{2}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Tính \(\lim \dfrac{{\sqrt {4{n^2} + 1}  - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\) bằng:

  • A \( + \infty \)                   
  • B \(1\)                                 
  • C \(2\)                               
  • D  \(\dfrac{3}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \(n\).

Lời giải chi tiết:

\(\lim \dfrac{{\sqrt {4{n^2} + 1}  - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}} = \lim \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{n^2}}}}  - \sqrt {\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{2 - \dfrac{3}{n}}} = \dfrac{2}{2} = 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Giá trị của \(C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{3{n^3} + 1}} - n}}{{\sqrt {2{n^4} + 3n + 1}  + n}}\) bằng:

  • A \( + \infty \)                    
  • B \( - \infty \)                   
  • C \(0\)
  • D \(1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.

\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

Chú ý: \(\left[ \begin{array}{l}\lim \frac{0}{a} = 0\\\lim \frac{a}{0} = \infty \end{array} \right.\) (a là số bất kì, \(a \in R\))

Lời giải chi tiết:

Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\) ta có được : \(C = \lim \frac{{\sqrt[4]{{\frac{3}{{{n^5}}} + \frac{1}{{{n^8}}}}} - \frac{1}{n}}}{{\sqrt {2 + \frac{3}{{{n^3}}} + \frac{1}{{{n^4}}}}  + \frac{1}{n}}} = 0\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Tính giới hạn \(\lim \left( {n - \sqrt {{n^2} - 4n} } \right)\) ta được kết quả là:

  • A 4
  • B 2
  • C 3
  • D 1

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nhân và chia với biểu thức liên hợp của \(n - \sqrt {{n^2} - 4n} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\lim \left( {n - \sqrt {{n^2} - 4n} } \right) = \lim \dfrac{{{n^2} - {n^2} + 4n}}{{n + \sqrt {{n^2} - 4n} }} = \lim \dfrac{{4n}}{{n + \sqrt {{n^2} - 4n} }} = \lim \dfrac{4}{{1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{n}} }} = 2\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Tính \(I = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {{n^2} + 2}  - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)} \right]\).

  • A \(I = 1,499\)
  • B \(I =  + \infty \)
  • C \(I = \dfrac{3}{2}\)
  • D \(I = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Nhân liên hợp khử dạng \(\infty  - \infty \).

- Chia cả tử và mẫu cho \(n\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {{n^2} + 2}  - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)} \right]\\I = \lim \dfrac{{n\left( {{n^2} + 2 - {n^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2}  + \sqrt {{n^2} - 1} }}\\I = 3\lim \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + 2}  + \sqrt {{n^2} - 1} }}\\I = 3\lim \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}}  + \sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} }}\\I = 3\lim \dfrac{1}{{1 + 1}} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Cho số thực \(a\) thỏa mãn \(\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \frac{1}{2}\). Khi đó \(a - {a^2}\) bằng

  • A \(0\)
  • B \( - 6\)
  • C \( - 12\)
  • D \( - 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Tìm giới hạn của hàm số bằng cách chia cả tử và mẫu cho \({n^3}\).

- Tìm \(a\), từ đó tính \(a - {a^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\lim \frac{{2{n^3} + {n^2} - 4}}{{a{n^3} + 2}} = \lim \frac{{2 + \frac{1}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}}}{{a + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{2}{a}.\)

Theo bài ra ta có: \(\frac{2}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 4\).

Vậy \(a - {a^2} = 4 - {4^2} =  - 12.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + an - 3}  - \sqrt {{n^2} + n} \), trong đó \(a\) là tham số thực. Tìm \(a\) để \(\lim {u_n} = 3\).

  • A \(7\)
  • B \(6\)
  • C \(4\)
  • D \(5\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Sau đó chia cả tử và mẫu cho \(n\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + an - 3}  - \sqrt {{n^2} + n} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{{n^2} + an - 3 - {n^2} - n}}{{\sqrt {{n^2} + an - 3}  + \sqrt {{n^2} + n} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{\left( {a - 1} \right)n - 3}}{{\sqrt {{n^2} + an - 3}  + \sqrt {{n^2} + n} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \lim \dfrac{{\left( {a - 1} \right) - \dfrac{3}{n}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{a}{n} - \dfrac{3}{{{n^2}}}}  + \sqrt {1 + \dfrac{1}{n}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{a - 1}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{a - 1}}{2} = 3 \Leftrightarrow a - 1 = 6 \Leftrightarrow a = 7\end{array}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho dãy số \({u_n}\) thỏa \(\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} = 2.\) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{} \left( {{u_n} + \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}}} \right).\)

  • A \(1.\)
  • B \(2.\)
  • C \(3.\)
  • D \(4\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{} \left( {{u_n} + \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}}} \right) = \lim {u_n} + \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 3}} = \lim {u_n} + \lim \dfrac{1}{{1 + \dfrac{3}{{{2^n}}}}} = 2 + 1 = 3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Tính giới hạn \(\lim \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}}\).

  • A \(\dfrac{1}{3}\)
  • B \(1\)
  • C \(\dfrac{1}{4}\)
  • D \(2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,\,\forall n \ge 1,\,\,n \in \mathbb{Z}\) bằng phương pháp quy nạp.

+) Tính giới hạn bằng cách chia cả tử và mẫu cho \(n\) với số mũ là số mũ cao nhất của tử và mẫu.

Lời giải chi tiết:

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\,\,\forall n \ge 1,\,\,n \in \mathbb{Z}\).

Đẳng thức trên đúng với \(n = 1\) vì \(1 = \dfrac{{1.2.3}}{6}\).

Giả sử đẳng thức trên đúng đến \(n = k \Rightarrow {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\), ta cần chứng minh nó đúng đến \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh \({1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6} = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đẳng thức được chứng minh. Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{{n^3} + 3n}} = \lim \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6\left( {{n^3} + 3n} \right)}}\\ = \lim \dfrac{{1.\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{6\left( {1 + \dfrac{3}{{{n^2}}}} \right)}} = \dfrac{{1.1.2}}{{6.1}} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_0} = 2018\\{u_1} = 2019\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 3{u_{n - 1}};\forall n \ge 1\end{array} \right.\). Hãy tính \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{3^n}}}\).

  • A \(\dfrac{1}{3}\).
  • B \({3^{2019}}\).
  • C \(\dfrac{1}{2}\).
  • D \({3^{2018}}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức để tìm các số hạng tiếp theo rồi suy ra quy luật.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({u_{n + 1}} = 4{u_n} - 3{u_{n - 1}}\).

+) \({u_2} = 4{u_1} - 3{u_0} = 2022 = {u_0} + {3^0} + {3^1}\)

Tương tự \({u_3} = 4{u_2} - 3{u_1} = 2031 = {u_0} + {3^0} + {3^1} + {3^2}\)

               \({u_4} = 4{u_3} - {u_2} = 2058 = {u_0} + {3^0} + {3^1} + {3^2} + {3^3}\)  

Suy ra \({u_n} = {u_0} + {3^0} + {3^1} + {3^2} + ... + {3^{n - 1}}\).

Ta có \({3^0} + {3^1} + ... + {3^{n - 1}} = 1.\dfrac{{1 - {3^n}}}{{1 - 3}} = \dfrac{{{3^n} - 1}}{2}\).

\( \Rightarrow {u_n} = 2018 + \dfrac{{{3^n} - 1}}{2} = \dfrac{{4035}}{2} + \dfrac{1}{2}{3^n}\).

Vậy \(\lim \dfrac{{{u_n}}}{{{3^n}}} = \lim \dfrac{{\dfrac{{4035}}{2} + \dfrac{1}{2}{3^n}}}{{{3^n}}} = \lim \left( {\dfrac{{4035}}{{{{2.3}^n}}} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Biết rằng \(b > 0,\,\,a + b = 5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

  • A \({a^2} + {b^2} > 10\)
  • B \({a^2} - {b^2} > 6\)
  • C \(a - b \ge 0\)
  • D \(1 \le a \le 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Tách tử thành các giới hạn \(\dfrac{0}{0}\).

- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng \(\dfrac{0}{0}\), từ đó tính giới hạn của hàm số.

- Giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b\). Thay vào các đáp án để tìm đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - 1}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sqrt {1 - bx} }}{x} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - 1 + bx}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 - bx} } \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{{{\sqrt[3]{{ax + 1}}}^2} + \sqrt[3]{{ax + 1}} + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{b}{{1 + \sqrt {1 - bx} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} = 2\end{array}\)

Kết hợp với đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} = 2\\a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\({a^2} + {b^2} = {3^2} + {2^2} = 13 > 10 \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\({a^2} - {b^2} = {3^2} - {2^2} = 5 < 6 \Rightarrow \) Đáp án B sai.

\(a - b = 3 - 2 = 1 \ge 0 \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\(a = 3 \Rightarrow 1 \le a \le 3 \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho dãy \(({x_k})\) được xác định như sau: \({x_k} = \frac{1}{{2!}} + \frac{2}{{3!}} + ... + \frac{k}{{(k + 1)!}}\)

Tìm \(\lim {u_n}\) với \({u_n} = \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}}\).

  • A \( + \infty \)
  • B \( - \infty \)
  • C \(1 - \frac{1}{{2012!}}\)
  • D \(1 + \frac{1}{{2012!}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Nếu \({x_n} < {u_n} < {v_n}\)  mà  \(\lim \,\,{x_n} = \lim \,\,{v_n} = a \Rightarrow \lim \,\,{u_n} = a\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{k}{{(k + 1)!}} = \frac{1}{{k!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}}\) nên \({x_k} = 1 - \frac{1}{{(k + 1)!}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_k} - {x_{k + 1}} = 1 - \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)!}} - 1 + \frac{1}{{(k + 2)!}} = \frac{1}{{(k + 2)!}} - \frac{1}{{(k + 1)!}} < 0\\ \Rightarrow {x_k} < {x_{k + 1}} \Rightarrow {x_1} < {x_2} < ... < {x_{2011}}\\ \Rightarrow x_1^n < x_2^n < ... < x_{2011}^n \Rightarrow \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{x_{2011}^n + x_{2011}^n + ... + x_{2011}^n}} = \sqrt[n]{{2011.x_{2011}^n}} = \sqrt[n]{{2011}}.{x_{2011}}\end{array}\)

Lại có: \({x_{2011}} = \sqrt[n]{{x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}}\)

Vậy: \({x_{2011}} < \sqrt[n]{{x_1^n + x_2^n + ... + x_{2011}^n}} < \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}}\)

Ta có: \({x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{\left( {2011 + 1} \right)!}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \lim {x_{2011}} = {x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\\ \Rightarrow \lim \sqrt[n]{{2011}}{x_{2011}} = \lim \,\,{2011^{\frac{1}{n}}}{x_{2011}} = {2011^0}.{x_{2011}} = {x_{2011}} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\end{array}\)

Vậy \(\lim {u_n} = 1 - \frac{1}{{2012!}}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

  • 60 bài tập giới hạn của hàm số

    60 bài tập giới hạn của hàm số

    Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm giới hạn hàm số đầy đủ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết

close