Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b\Rightarrow z\Rightarrow \left| z \right|\).

Công thức tính mô đun số phức \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi\).

Từ \(|z+3|=5\)  ta có \(|a+bi+3|=5\Leftrightarrow {{(a+3)}^{2}}+{{b}^{2}}=25\)  (1)

Từ giả thiết \(|z-2i|=|z-2-2i|\)  có

\(|a+bi-2i|=|a+bi-2-2i|\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}}={{(a-2)}^{2}}+{{(b-2)}^{2}} \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}={{(a-2)}^{2}}\Leftrightarrow a=2-a\Leftrightarrow a=1\)

Với \(a=1\), thay vào (1) có \(b=\pm 3\)

Vậy có hai số phức thỏa mãn \(z=1\pm 3i\). Cả hai số phức này đều có \(|z|=\sqrt{10}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Gọi số phức cần tìm là  \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\), thay vào các hệ thức trong bài và tìm \(a,b \Rightarrow z\) .

Số phức \(z = a + bi\)  là thuần ảo nếu a = 0 .

Công thức tính mô đun số phức \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z = a + bi\)   ta có \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\) .

Vì  \({z^2}\)  là số thuần ảo nên ta có  \({a^2} - {b^2} = 0\) (1)

Từ điều kiện \(|z - i| = 5 \Leftrightarrow |a + bi - i| = 5 \Leftrightarrow {a^2} + {(b - 1)^2} = 25\)  (2)

Lấy (2) trừ (1) vế với vế ta được  \({(b - 1)^2} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow 2{b^2} - 2b - 24 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - b - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 4}\\{b =  - 3}\end{array}} \right.\)

Với b = 4 , từ (1) có \(a =  \pm 4\)

Với b = -3  , từ (1) có  \(a =  \pm 3\)

Do đó có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.

Chọn C

Phương pháp giải:

Giả sử z  = a + bi (a, b thuộc R).

Tính các số phức ở các đáp án A, B, C, D và kiểm tra tính đúng, sai của các kết luận.

Lời giải chi tiết:

Giả sử z  = a + bi (a, b thuộc R) => \(\overline{z}=a-bi\)

Ta có: \(z+\overline{z}=a+bi+a-bi=2a\) là một số thực => A đúng

             \(z-\overline{z}=a+bi-a+bi=2bi\) là một số ảo => B đúng

             \(z.\overline{z}=(a+bi).(a-bi)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)là một số thực => C đúng

             \({{z}^{2}}+{{\overline{z}}^{2}}={{(a+bi)}^{2}}+{{(a-bi)}^{2}}=2{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}\) là một số thực => D sai

Chọn D

Phương pháp giải:

Cho \(z=a+bi\,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \,\,\bar{z}=a-bi\) suy ra \(\left| z \right|=\left| {\bar{z}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\bar{z}+2-i=0\Leftrightarrow \bar{z}=-\,2+i\Rightarrow \left| {\bar{z}} \right|=\left| -\,2+i \right|=\sqrt{5}\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{5}.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Xác định môđun đưa về bài toán rút gọn biểu thức lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \cos \frac{11\pi }{24}+\cos \frac{5\pi }{24} \right)}^{2}}+{{\left( \sin \frac{11\pi }{24}-\sin \frac{5\pi }{24} \right)}^{2}}}\)

\(\begin{align} & =\sqrt{{{\cos }^{2}}\frac{11\pi }{24}+2.\cos \frac{11\pi }{24}.\cos \frac{5\pi }{24}+{{\cos }^{2}}\frac{5\pi }{24}+{{\sin }^{2}}\frac{11\pi }{24}-2.\sin \frac{11\pi }{24}.\sin \frac{5\pi }{24}+{{\sin }^{2}}\frac{5\pi }{24}} \\ & =\sqrt{2+2.\left( \cos \frac{11\pi }{24}.\cos \frac{5\pi }{24}-\sin \frac{11\pi }{24}.\sin \frac{5\pi }{24} \right)}=\sqrt{2+2.\cos \left( \frac{11\pi }{24}+\frac{5\pi }{24} \right)}=\sqrt{2+2.\cos \frac{2\pi }{3}}=1. \\\end{align}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

\(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,z = \cos 2\alpha  + \left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\cos }^2}2\alpha  + {{\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt {{{\cos }^2}2\alpha  + 1 - \sin 2\alpha } \\\,\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt {1 - {{\sin }^2}2\alpha  + 1 - \sin 2\alpha } \\\,\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt { - {{\sin }^2}2\alpha  - \sin 2\alpha  + 2} \\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt { - {{\left( {\sin 2\alpha  + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{9}{4}}  \le \sqrt {\frac{9}{4}}  = \frac{3}{2}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \sin 2\alpha  =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\alpha  =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2\alpha  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\\alpha  = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Vậy \({\left| z \right|_{\max }} = \frac{3}{2}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\left( {3x + yi} \right) + \left( {4 - 2i} \right) = 5x + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4 = 5x\\y - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức 2 số phức bằng nhau: \(z = a + bi;z' = a'i + b';z = z' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left( {3x + 2yi} \right) + \left( {2 + i} \right) = 2x - 3i \Leftrightarrow 3x + 2 + \left( {2y + 1} \right)i = 2x - 3i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2 = 2x\\2y + 1 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Số phức \(z = a + bi;\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ.

+ Tam giác \(OMN\) cân tại \(O \Leftrightarrow OM = ON\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(z =  - 2 + 3i \Rightarrow M\left( { - 2;3} \right)\)

Vì \(N \in \) đường thẳng \(y = 3\) nên \(N\left( {a;3} \right)\)

Để \(\Delta OMN\) cân tại \(O\) thì \(OM = ON \Leftrightarrow O{M^2} = O{N^2} \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} + {3^2} = {a^2} + {3^2} \Leftrightarrow {a^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2 \Rightarrow N\left( {2;3} \right) \Rightarrow z = 2 + 3i\\a = 2 \Rightarrow N\left( { - 2;3} \right) \Rightarrow z =  - 2 + 3i\end{array} \right.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Số phức \(z\) có phần thực là 2 và phần ảo là \( - 3\) \( \Rightarrow z = 2 - 3i \Rightarrow 3 + iz = 3 + i\left( {2 - 3i} \right) = 6 + 2i\).

\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {36 + 4}  = 2\sqrt {10} \).

Chọn C

Phương pháp giải:

\(z = a + bi\,\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R} } \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi\)

Lời giải chi tiết:

\(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow  - \overline z  =  - a + bi = w\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \,\mathbb{R}} \right)\) thì \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức và \(OM = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Điểm biểu diễn số phức đã cho là:\(M\left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {a;\,\,b} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

- Số phức \(w = A + Bi\) là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực \(A = 0\), giải phương trình tìm \(m\).

- Thay \(m\) vừa tìm được vào số phức \(z\), từ đó suy ra phần ảo của số phức \(z\).

Lời giải chi tiết:

Số phức \(w = m - 1 + \left( {{m^2} - 4} \right)i\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Với \(m = 1\) ta có: \(z = 2 + 3i\).

Vậy \({\mathop{\rm Im}\nolimits} z = 3\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Xác định số phức \(z = a + bi.\)

+ Điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) có tọa độ là \(M\left( {a;b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

\({\left( {1 + z} \right)^2} = {\left( {1 + x + iy} \right)^2} = {\left( {1 + x} \right)^2} - {y^2} + 2\left( {1 + x} \right)yi\).

Để \({\left( {1 + z} \right)^2}\) là số thực thì \(2\left( {1 + x} \right)y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 0\end{array} \right..\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn là hai đường thẳng \(x =  - 1\) và \(y = 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Điểm biểu diễn của số phức \(z = a + bi,\,\,a,b \in \mathbb{R}\) là \(M\left( {a;b} \right)\).

- Tính độ dài đoạn thẳng \(OA,\,\,OB\), sử dụng công thức: \(OA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - {z_O}} \right)}^2}} \).

- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) để kiểm tra xem \(OA \bot OB\) hay không?

- Dựa vào các đáp án để kết luận.

Lời giải chi tiết:

Do \(A,\,\,B\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(1 + 2i\) và \( - 2 + i\) \( \Rightarrow A\left( {1;2} \right),\,\,B\left( { - 2;1} \right)\). \(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {1;2} \right),\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( { - 2;1} \right)\\ \Rightarrow OA = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \\\,\,\,\,\,\,OB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 5 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = OB = \sqrt 5 \\\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 1.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0 \Rightarrow OA \bot OB\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phân tích từng đáp án và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}{i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\{\left( {1 - i} \right)^2} = 1 - 2i + {i^2} =  - 2i \notin \mathbb{R}\\{\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 2i\\{i^3} = {i^2}.i =  - i\end{array}\)

Vậy chỉ có đáp án C đúng.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\): Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\).

- Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \), tìm tọa độ điểm \(D\).

- Từ tọa độ điểm \(D\) suy ra số phức được biểu diễn bởi điểm \(D\).

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có \(A\left( {1; - 2} \right),\) \(B\left( {3; - 1} \right),\)\(C\left( {1;2} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - 1 = 1 - {x_D}\\ - 1 - \left( { - 2} \right) = 2 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - 1\\{y_D} = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( { - 1;1} \right)\).

Vậy điểm \(D\) là điểm biểu diễn số phức \(z =  - 1 + i\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm điểm biểu diễn của hai số phức rồi kết luận.

- Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {1;1} \right)\)

         \(z' =  - 1 + i\) có điểm biểu diễn là \(M'\left( { - 1;1} \right)\)

Hai điểm \(M\) và \(M'\) đối xứng nhau qua trục \(Oy\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng \({i^2} =  - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(M = {i^{2018}} + {i^{2019}} = {i^{2018}}\left( {1 + i} \right) = {\left( {{i^2}} \right)^{1006}}\left( {1 + i} \right) = 1 + i.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Hai số phức bằng nhau \({a_1} + {b_1}i = {a_2} + {b_2}i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right.\).

- Giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b\) sau đó tính tổng \(a + b\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2 + 3i} \right)a + \left( {1 - 2i} \right)b = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left( {2a + b} \right) + \left( {3a - 2b} \right)i = 4 + 13i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 4\\3a - 2b = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a + b = 3 + \left( { - 2} \right) = 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng \({i^2} =  - 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = 2019 + {i^{2019}} = 2019 + i.{\left( {{i^2}} \right)^{1009}} = 2019 + i\left( { - 1} \right) = 2019 - i\)

Vậy z có phần ảo bằng \( - 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2},\,\,{z_3}\).

- Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

Lời giải chi tiết:

Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i\) và \({z_3} = a - i\) nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a; - 3} \right)\).

Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

\( \Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Biến đổi \({i^{2019}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\). Sử dụng \({i^2} =  - 1\).

- Môđun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}z = 2 + i + {i^{2019}}\\z = 2 + i + {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i + {\left( { - 1} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i - i\\z = 2\\ \Rightarrow \left| z \right| = 2\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm tọa độ trung điểm I của AB: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\).

- Số phức được biểu diễn bởi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) là \(z = a + bi\).

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right)\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\).

Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức \( - \dfrac{1}{2} + 2i\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\overline z  = a - bi\).

- Tính \(i{z_1} - \overline {{z_2}} \).

- Số phức \(z = a + bi\) có phần ảo bằng \(b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z_2} = 2002i \Rightarrow \overline {{z_2}}  =  - 2002i\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow i{z_1} - \overline {{z_2}}  = i\left( {2019 + 2020i} \right) - \left( { - 2002i} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2019i - 2020 + 2002i\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 2020 + 4021i\end{array}\).

Vậy phần ảo của số phức \(i{z_1} - \overline {{z_2}} \)là \(4021\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Giải bất phương trình tìm m.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({z_1} = 3i;\,\,{z_2} = m - 2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = 9\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{m^2} + 4} \end{array} \right.\)

Mà \(\left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right| \Rightarrow \sqrt {{m^2} + 4}  < 9 \Leftrightarrow {m^2} + 4 < 9 \Leftrightarrow  - \sqrt 5  < m < \sqrt 5 .\)

Mặt khác \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}.\)

Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc cộng số phức để tìm số phức w.

- Số phức \(w = a + bi\) có phần ảo là b.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\{z_2} = 2 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow w = 3{z_1} - 2{z_2} =  - 1 + 12i\)

Khi đó phần ảo của số phức w là 12.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Điểm biểu diễn của số phức \(z = a + bi\) là \(M\left( {a;b} \right)\).

- Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp \(\bar z = a - bi\).

- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(M\left( {1; - 2} \right)\) là điểm biểu phức z nên \(z = 1 - 2i\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  = 1 + 2i\\\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 .\end{array}\)

Vậy khẳng định B đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(z.\overline z  = {\left| z \right|^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({z_1}.\overline {{z_1}}  = 4 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = 4\).

Vậy \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 4 + {3^2} = 13\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z = i\left( {1 - 3i} \right) = i - 3{i^2} = i + 3 = 3 + i\) \( \Rightarrow \overline z  = 3 - i.\)

Số phức \(\overline z \) có phần thực là \(3\) và phần ảo là \( - 1.\)

\( \Rightarrow S = 3 + \left( { - 1} \right) = 2.\)

Chọn B. 

Phương pháp giải:

Cho điểm \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) ta có: \(z = x + yi.\)

Khi đó số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z  = x - yi.\)

Lời giải chi tiết:

Cho điểm \(M\left( {3;\, - 5} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) ta có: \(z = 3 - 5i.\)

Khi đó số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z  = 3 + 5i.\)  

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \) Số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z  = a - bi.\)

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{b_1},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right).\) Ta có: \({z_1} = {z_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z  = a - bi.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2z + 1 = \overline z \\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + 1 = a - bi\\ \Leftrightarrow 2a + 1 + 2bi = a - bi\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 1 = a\\2b =  - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b =  - 1 + 0 =  - 1.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Thực hiện phép nhân tìm số phức w.

- Số phức \(w = a + bi\) có điểm biểu diễn là \(H\left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z = 1 - 2i \Rightarrow w = iz = i\left( {1 - 2i} \right) = 2 + i\).

Số phức \(w = 2 + i\) có điểm biểu diễn là \(N\left( {2;1} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| w \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}z} \right| = \left| {{{\left( {1 - i} \right)}^2}} \right|.\left| z \right| = 2\left| z \right| = 2m\) vì \(\left| z \right| = m\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{b_1},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó ta có: \({z_1} - {z_2} = {a_1} - {a_2} + \left( {{b_1} - {b_2}} \right)i.\)

Cho số phức \(z = x + yi\;\;\left( {x,\;y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M\left( {x;\;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + 3i\\{z_2} = 3 - 2i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {z_1} - {z_2} = \left( {2 - 3} \right) + \left( {3 + 2} \right)i =  - 1 + 5i\)

\( \Rightarrow M\left( { - 1;\,\,5} \right)\) là điểm điểm biểu diễn số phức \({z_1} - {z_2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Dựa vào đồ thị hàm số xác định các giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Vì \(A\) và \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1} = 3 - 2i\) và \({z_2} = 1 + 4i\) nên \(A\left( {3; - 2} \right)\) và \(B\left( {1;4} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3 + 1}}{2};\dfrac{{ - 2 + 4}}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {2;1} \right)\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho \({z_1} = {a_1} + {b_1}i;\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},\,\,{b_1},\,\,{b_2} \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó ta có: \({z_1} + {z_2} = {a_1} + {a_2} + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i.\)

Số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) có phần thực là \(a\) và phần ảo là \(b.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\\,{z_2} = 2 - 3i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\rm{w}} = {z_1} + {z_2}\) \( = \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 - 3} \right)i = 3 - 2i\)

\( \Rightarrow \) Phần ảo của số phức \({\rm{w}}\) là \( - 2.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\) ta có modun của số phức \(z\) là: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {{z_1}} \right|^2} = {2^2} + 1 = 5\\{\left| {{z_2}} \right|^2} = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 15.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \overline z  = x - yi.\)

Số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;\,\,y} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z = 2 - 3i \Rightarrow \overline z  = 2 + 3i\)

\( \Rightarrow {\rm{w}} = \overline z i = \left( {2 + 3i} \right)i = 2i + 3{i^2} =  - 3 + 2i.\)

\( \Rightarrow \) Số phức \(w\) có điểm biểu diễn là \(A\left( { - 3;\,\,2} \right).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số phức \(z = a - bi\,\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {a;\,\,b} \right).\)

Cho số phức \(z = a - bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a + bi.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(z =  - 4 - 5i \Rightarrow \overline z  =  - 4 + 5i\)

\( \Rightarrow M\left( { - 4;\,\,5} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(\overline z .\)

Chọn B.